Sadržaj se učitava...
mdi-home Početna mdi-account-multiple Djelatnici mdi-script Studiji mdi-layers Katedre mdi-calendar-clock Raspored sati FOI Nastava search apps mdi-login
Diskretne strukture s teorijom grafova
Discrete Structures and Graph Theory
2023/2024
6 ECTSa
Organizacija poslovnih sustava 1.3 (OPS)
Informatika u obrazovanju 1.3 (IUO)
Informacijsko i programsko inženjerstvo 1.3 (IPI)
Baze podataka i baze znanja 1.3 (BPBZ)
Baze podataka i baze znanja 1.4 (BPBZ)
Informacijsko i programsko inženjerstvo 1.4 (IPI)
Organizacija poslovnih sustava 1.4 (OPS)
Informatika u obrazovanju 1.4 (IUO)
Katedra za kvantitativne metode
TO
1. semestar
 Osnovne informacijemdi-information-variant Izvođači nastavemdi-account-group Nastavni plan i programmdi-clipboard-text-outline Model praćenjamdi-human-male-board Ispitni rokovimdi-clipboard-check-outline Rasporedmdi-calendar-clock Konzultacijemdi-account-voice
Izvođenje kolegija
Studij Studijski program Semestar Obavezan
Organizacija poslovnih sustava 1.3 (OPS) 1 obavezan
Informatika u obrazovanju 1.3 (IUO) 1 izborni
Informatika u obrazovanju 1.3 (IUO) 3 izborni
Informacijsko i programsko inženjerstvo 1.3 (IPI) 1 obavezan
Baze podataka i baze znanja 1.3 (BPBZ) 3 izborni
Baze podataka i baze znanja 1.3 (BPBZ) 1 izborni
Baze podataka i baze znanja 1.4 (BPBZ) 1 izborni
Informacijsko i programsko inženjerstvo 1.4 (IPI) 1 obavezan
Organizacija poslovnih sustava 1.4 (OPS) 1 obavezan
Informatika u obrazovanju 1.4 (IUO) 1 izborni
Cilj kolegija
Upoznavanje i produbljivanje znanja studenata o jezgri matematičkih znanja, nužnih za razvoj informacijskih znanosti. Ta se jezgra većim dijelom podudara s poljem diskretne matematike i teorijom grafova. Jedan od ciljeva ovog kolegija jest da se kod studenata razvije mehanizam rigoroznog matematičkog razmišljanja, što je nužno za svakog tko želi pratiti zahtjeve vrlo dinamičke informatičke discipline. Cilj je također da student razvije osjećaj za različite stupnjeve matematičke strogosti i formalizma i nauči ih upotrebljavati primjereno problemskoj situaciji. Poglavlja odabrana za ovaj kolegij namijenjena su svima onima koji se žele baviti razvojem algoritama, primjenom postojećih algoritama vezanih uz teoriju brojeva i grafove, ali i naprednijom primjenom i istraživanjima u informatici.
Preduvjeti
Kolegij nema definirane preduvjete
Norma kolegija
Predavanja
 30 sati
Seminar
 30 sati
Nastavnik Uloga na kolegiju Oblik nastave Tjedana Sati Grupa
Divjak Blaženka Nositelj Predavanja 8 3 1
Maretić Marcel Nositelj Seminar
Predavanja 		10
2 		3
3 		1
1
Horvat Damir Suradnik Seminar 10 3 2
Sadržaj predavanja
  • Matematički modeli i metode dokazivanja tvrdnji u matematici
    Matematički modeli. Klasična propozicijska i predikatna logika. Logička struktura matematičke tvrdnje. Vrste matematičkih dokaza: Direktni dokaz. Dokaz po slučajevima. Dokaz kontrapozicijom. Dokazivanje (niza) ekvivalentnih tvrdnji. Dokaz kontradikcijom. Obaranje tvrdnje protuprimjerom. Dokazivanje matematičkom indukcijom na prebrojivim strukturama.
  • Skupovi i relacije
    Prebrojivi i neprebrojivi skupovi. Paradoksi teorije skupova. Relacije, binarne relacije. Istaknuta svojstva binarnih relacija. Matrica incidencije. Funkcije (domena, rang, injekcija, surjekcija, bijekcija. Kompozicija relacija i inverzi relacija.
  • Uređajne relacije i relacija ekvivalencije
    Parcijalni uređaj. Usporedivost elemenata u parcijalno-uređenom skupu. Pojam minimalnog i maksimalnog elementa, te najveće gornje i donje međe u parcijalno uređenom skupu. Hasseovi dijagrami i njihova primjena. Linearni ili totalno uređeni skup. Leksikografski uređaj. Dobro uređeni skup. Mreže (engl. Lattice). Relacija ekvivalencije. Kvocijentni skup relacije ekvivalencije. Particija skupa inducirana relacijom ekvivalencije.
  • Elementarna teorija brojeva i primjene u kriptografiji
    Djeljivost. Prosti brojevi. Kongruencije modulo n. Modularna aritmetika. Prošireni Euklidov algoritam. Rješavanje linearnih kongruencija. Kineski teorem o ostacima. Primjena kongruencija u kodiranju (ISBN, UPC kodovi). Eulerova funkcija (totient). Modularno potenciranje. Primjene modularne aritmetike u modernoj kriptografiji (RSA kriptosustav). Digitalni potpis.
  • Matematički grafovi
    Definicija grafa. Osnovni pojmovi. Stupanj vrha, višestruki bridovi, pseudograf (multigraf). Specijalni grafovi: potpuni graf, bipartitni, potpuni bipartitni graf, regularni, planarni graf. Eulerova propozicija (suma stupnjeva svih vrhova jednaka je dvostrukom broju bridova). Matrica incidencije i matrica susjedstva. Svojstva matrice susjedstva. Različiti oblici prikazivanja grafa u računalu. Izomorfizam grafova. Veza izomorfnih grafova preko matrice permutacija. Invarijante (izomorfizma) grafova. Šetnja, zatvorena šetnja, staza, put i ciklus. Karakterizacija bipartitnosti. Eulerova tura. Povezani graf. Karakterizacija Eulerovog grafa. Hamiltonov graf. Otvoreni problem nužnog i dovoljnog uvjeta za Hamiltonovosti grafa. Petersenov graf. Traženje Eulerove staze ili ture. Brojanje šetnji.
  • Težinski grafovi
    Težinski graf i njegove primjene. Problem najkraćeg puta. Dijkstrin algoritam. Problem trgovačkog putnika. Udaljenost u težinskom grafu Floyd-Warshallov algoritam. Problem kineskog poštara. “Eulerizacija grafa”. Kwanov algoritam.
  • Stabla
    Definicija stabla. Nekoliko karakterizacija. Šuma. Korjensko stablo. Binarno stablo. Binarno stablo pretraživanja. Algoritam sortiranja. Binarno stablo u prikazu algebarskih izraza. Minimalno razapinjuće stablo. Pojam podgrafa. Razapinjući podgraf. Težina stabla. Problem nalaženja minimalnog razapinjućeg stabla. Kruskalov algoritam. Primov algoritam. Usporedba i složenost Kruskalovog i Primovog algoritma. Pretraživanje stabla. Algoritmi traženja u grafu (DFS, BFS).
  • Usmjereni grafovi
    Usmjereni graf. Usmjerena šetnja, usmjereni put. Turnir: definicija i svojstva. Postojanje usmjerenog Hamiltonovog puta u svakom turniru. Mreže i kritični putevi. Problem rasporeda. Metoda kritičnog puta - CPM, PERT. Primjene u vođenju i planiranju projekata. Usmjereni aciklički graf (DAG) i topološko sortiranje. Bellman-Fordov algoritam za traženje najkraćeg puta u usmjerenom grafu. Primjena. Transportna mreža. Protok i rez. Teorem o maksimalnom protoku i minimalnom rezu u transportnoj mreži. Ford-Fulkersonov algoritam za određivanje maksimalnog protoka u transportnoj mreži.
  • Bojanje grafova i sparivanja
    Planarnost grafa. Problem četiri boje. Povijesni osvrt i Appel-Hakenovo rješenje. Bojenje vrhova grafa. Kromatski broj grafa. Primjena kromatskog broja grafa na slaganje rasporeda. Kromatski brojevi nekih poznatih grafova. Bridno bojanje grafa. Teoremi o kromatskom broju (Brooks, Vizing, Gupta i dr.). Sparivanje u grafovima. Maksimalno sparivanje u grafu. Sparivanje u bipartitnim grafovima. Hallov teorem.
  • Matematička teorija grafova s primjenama: Grafovi
    Definicija grafa i osnovna svojstva grafova. Stupanj vrha, višestruki bridovi, pseudograf. Podgraf. Specijalni grafovi: potpuni graf, bipartitni graf, potpuni bipartitni graf. Regularni grafovi. Eulerova propozicija (suma stupnjeva svih vrhova jednaka je dvostrukom broju bridova). Broj vrhova neparnog stupnja je paran. Izomorfizam grafova. Veza izomorfnih grafova preko matrice permutacija. Invarijante izomorfnih grafova. Šetnja, zatvorena šetnja, staza u grafu.
  • Putevi i ciklusi
    Eulerova tura kao zatvorena Eulerova staza i Eulerov graf. Povezani grafovi. Graf je Eulerov ako i samo ako je povezan i svaki mu je vrh parnog stupnja. Rješenje problema Koeningsberških mostova. Hamiltonov ciklus. Hamiltonov graf. Petersonov graf kao protuprimjer Hamiltonovog grafa. Otvoreni problem nužnog i dovoljnog uvjeta za Hamiltonov graf. Matrica incidencije i matrica susjedstva. Svojstva matrice susjedstva. Algoritam za nalaženje Eulerove staze i ciklusa. Problem deadlockova.
  • Težinski grafovi. Algoritmi najkraćeg puta.
    Težinski graf. Najkraći put između dva vrha u težinskom grafu. Primjene težinskih grafova. Problem trgovačkog putnika. Traženje Hamiltonovog ciklusa najmanje težine. Dijkstrin algoritam i poboljšani Dijkstrin algoritam. Floyd- Warshallov algoritam. Usporedba ta dva algoritma, njihova složenost i mogućnosti primjene. Problem kineskog D-278 poštara u Eulerovom grafu i grafu koji nije Eulerov. “Eulerizacija grafa”. Primjeri rada algoritama.
  • Stabla
    Stablo kao povezani graf koji ne sadrži niti jedan ciklus. Svojstva stabla. Šuma. Stablo s korijenom (korjensko stablo). Binarno stablo. Binarno stablo pretraživanja. Algoritam sortiranja. Binarno stablo u prikazu algebarskih izraza. Minimalno razapinjuće stablo. Pojam podgrafa. Razapinjući podgraf. Težina stabla. Problem nalaženja minimalnog razapinjućeg stabla. Algoritmi za minimalno razapinjuće stablo. Kruskalov algoritam. Primov algoritam. Usporedba i složenost Kruskalovog i Primovog algoritma. Pretraživanje stabla. Prolasci grafom i stablom.
  • Usmjereni grafovi
    Usmjereni graf (digraph). Usmjerena šetnja, usmjereni put. Turnir: definicija i svojstva. Postojanje usmjerenog Hamiltonovog puta u svakom turniru. Mreže i kritični putevi. Problem rasporeda. Metoda kritičnog puta - CPM, PERT. Primjene u vođenju i planiranju projekata. Protoci i rezovi. Transportna mreža. Vrijednost protoka. Pojam frastućeg puta. Max flow – min cut teorem. Dokaz teorema. Primjeri primjene teorema. Algoritam za maksimalni protok transportne mreže.
  • Bojanje grafova
    Problem četiri boje. Povijesni osvrt i Appel-Hakenovo rješenje. Bojenje vrhova grafa. Kromatski broj grafa. Primjena kromatskog broja grafa na slaganje rasporeda. Kromatski broj, ekvivalencija na grafovima, klase boje. Klike i broj klike. Kromatski brojevi nekih poznatih grafova. Teoremi o kromatskom broju. Bojanje bridova grafa. Kromatski broj grafa i primjeri. Teorem (Vizig, Gupta).
  • Sparivanje u grafovima
    Sparivanje u grafovima. Maksimalno sparivanje u grafu. Sparivanje u bipartitnim grafovima. Hallov teorem.
 Sadržaj seminara/vježbi
  • Seminari prate predavanja
    Sadržajno seminari prate predavanja, ali se na razini ishoda fokusiraju na vježbu i primjenu. Na seminarima se rješavaju zadaci vezani uz teoriju obrađenu na predavanjima. Naglasak je, gdje god je to moguće, na praktičnim zadacima koji su vezani za realne probleme, posebno informatičke. Također se pokazuje na koji način je neki zadatak moguće riješiti u nekom programskom alatu ili jeziku kao što su npr. Python, SAGE, Octave, Maxima. Studenti također rade u timu na zahtjevnijem praktičnom zadatku iz područja diskretne matematike i/ili teorije grafova koji osim teoretske obrade uključuju i izradu ili napredno korištenje programskog rješenja, te analizu rješenja realnog problema.
  • Studenti također rješavaju dva praktična zadatka u Pythonu (ili SAGE-u, ili Maximi)
    Jedan zadatak se odnosi na diskretnu matematiku i vezan je uglavnom za neku primjenu u teoriji brojeva i kombinatorici, a drugi zadatak je vezan uz teoriju grafova
 Ishodi učenja kolegija
  • Definirati i klasificirati binarne relacije na diskretnim skupovima te ih koristiti u karakterističnim zadacima.
  • Definirati osnovne pojmove i koncepte iz teorije grafova i povezati ih s istaknutim problema iz teorije grafova.
  • Efikasno raditi u timu na modeliranju i rješavanju problema konceptima i algoritmima iz područja diskretne matematike i/ili teorije grafova.
  • Identificirati strukturu i tipove dokaza u matematici te koristiti matematički način provjere valjanosti algoritama.
  • Koristiti matematičku literaturu, umjetnu inteligenciju i mješovito e-učenje, te barem jedan alat i programski jezik za rješavanje problema koji zahtijevaju primjenu teorije grafova i/ili diskretne matematike.
  • Primijeniti algoritme koji se temelje na teoriji brojeva na probleme iz prakse, s naglaskom na kriptografiju.
  • Primijeniti teoreme i algoritme iz teorije grafova na rješavanje standardnih zadataka manulano i uz pomoć prikladnih alata.
 Ishodi učenja programa
  • Primijeniti etička načela, zakonsku regulativu i norme koje se koriste u struci
  • Procijeniti uvjete za primjenu suvremenih informacijskih i komunikacijskih tehnologija (IKT), savjetovati druge u primjeni IKT-a te u zadanom kontekstu odrediti utjecaj na pojedinca, organizaciju i društvo.
  • Modelirati probleme iz područja informacijskih i poslovnih sustava korištenjem matematičkih metoda, metoda razvoja informacijskih sustava i koncepata planiranja, upravljanja i poslovanja
  • Analizirati uvjete, donositi odluke, savjetovati druge te primijeniti odluke u zadanom kontekstu rješavanja problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava
  • Vrednovati učinkovitost uvođenja i korištenja programskih rješenja i pripadajuće infrastrukture za konkretne problemske domene
  • Voditi interdisciplinarni tim i raditi u takvom timu te razviti planove upravljanja karijerom za sebe i članove tima uključujući elemente cjeloživotnog učenja i razvoj kompetencija poduzetnosti
  • Svrsishodno komunicirati na hrvatskom i stranom jeziku, unaprijediti komunikaciju sa svim dionicima (klijentima, korisnicima i kolegama) uz primjenu odgovarajuće terminologije uključujući popularizaciju suvremenih informatičkih trendova i tema
  • Primijeniti odgovarajuće metode i tehnike projektiranja, planiranja, razvoja i uvođenja složenog informacijskog sustava u suvremenim razvojnim okolinama
  • Optimizirati procese poslovnog sustava organizacije u suradnji sa stručnjacima odabirom metoda i koncepata planiranja, upravljanja organizacijom i analize poslovanja
  • Oblikovati softversku arhitekturu složenog informacijskog sustava, odabrati i postaviti njegovu odgovarajuću tehnološku platformu i sigurnosne mehanizme te programirati dijelove složenog sustava
  • Utvrditi uvjete za primjenu ključnih informacijskih tehnologija, procijeniti njihov učinak i u zadanom kontekstu donositi odluke i davati savjete vezano uz upravljanje IT uslugama i resursima
  • Analizirati uvjete za primjenu, savjetovati i u zadanom kontekstu donositi odluke vezane uz metodološke pristupe razvoju organizacijskih i informacijskih sustava
  • Osmsliti projekt učinkovitog unapređenja poslovnog sustava u osnovnim vertikalnim područjima uz korištenje suvremenih IKT, realizirati takav projekt vlastitim razvojem ili izborom odgovarajućeg standardnog softvera
  • Analizirati objekte poslovnog sustava te postaviti formalni model objektnog sustava kao temelj izgradnje informacijskog sustava.
  • Dizajnirati i izgraditi sustav temeljen na distribuiranim bazama podataka i velikim izvorima znanja korištenjem tehnika izgradnje velikih i distribuiranih podatkovnih sustava i razrješavanja konflikata između kompetitivnih izvora znanja.
  • Izgraditi računalni sustav za pohranu podataka i znanja uključujući digitalne arhive.
  • Predložiti poboljšanja poslovnog sustava temeljem optimiziranog modela poslovnih procesa i poslovnih pravila.
  • Modelirati i izgraditi analitički podatkovni sustav skladišta podataka i višedimenzionalnih kocaka temeljen na postojećem transakcijskom sustavu.
  • Izgraditi i optimizirati model procesa, klasa podataka i poslovnih pravila poslovnog sustava te predložiti poboljšanja poslovnog sustava.
  • Modelirati i izgraditi sustave temeljene na znanju i sustave za podršku u odlučivanju.
  • Identificirati potrebe za strategijskim i upravljačkim promjenama u organizacijama
  • Primijeniti metode upravljanja životnim ciklusom informacijskog sustava organizacije te osmisliti i primijeniti suvremene strategije nastupa na tržištu informatičkih proizvoda i usluga
  • Definirati elemente strategijskog kontinuuma i primijeniti metode strategijskog upravljanja uz potporu informacijsko komunikacijske tehnologije.
  • Razviti i validirati sustav mjerenja organizacijske učinkovitosti uz primjenu IKT
  • Analizirati tržište primjenom informacijsko-komunikacijskih tehnologija
  • Analizirati poslovne procese te preporučiti i primijeniti odgovarajuće informacijske i komunikacijske tehnologije za unapređenje poslovnih procesa
  • Prezentirati razvoj i organizaciju odgojno-obrazovnih sustava, povijest informatike i računarstva, ustroj odgojno-obrazovnog procesa, društvenu uvjetovanost odgojno-obrazovne prakse i primijeniti suvremene odgojno-obrazovne koncepcije
  • Organizirati nastavni proces uključujući i poučavanje upotrebom tehnologije i u kriznim uvjetima te osmisliti postupke za upravljanje procesom učenja i poučavanja uz primjenu odrednica djelovanja i ponašanja ljudske jedinke i dinamike grupe
  • Artikulirati nastavni sat primjenjujući primjerene nastavne metode i oblike rada, didaktičke principe i nastavna sredstva
  • Voditi pedagošku dokumentaciju, ispitivanje, ocjenjivanje i vrednovanje u skladu sa zakonskom regulativom i kriterijima osobne i profesionalne etičnosti
  • Poučavati učenike primjeni različitih oblika učenja, samovrednovanju i samoreguliranom učenju
  • Upravljati razrednim odjeljenjem, i surađivati s roditeljima i drugim strukturama unutar i izvan odgojno-obrazovne institucije
  • Primijeniti i sukreirati suvremene računalne sustave u dizajnu obrazovnog informacijskog sustava u nastavi u skladu s pedagoškim i metodičkim principima te ih popularizirati sukladno trendovima i potrebama
  • Primijeniti principe proceduralnog programiranja, interneta, weba, stolnih aplikacija u kontekstu rješavanja problema iz realnog svijeta
  • Formulirati problem iz realnog svijeta u smislu problemskog zadatka u informatici te ga znati riješiti i rješenje evaluirati
  • Izvoditi proces poučavanja u multikulturalnim i multietničkim sredinama i drugim posebnim uvjetima (treća dob, centri izvrsnosti …)
  • Strukturirati i procjenjivati osobna i profesionalna iskustva (razvijati refleksivnu praksu) uključujući cjeloživotno učenje
 Osnovna literatura
  • Divjak B., Lovrenčić A. Diskretna matematika s teorijom grafova. TIVA-FOI, Varaždin, 2005.
  • Goodaire E. G., Parmenter M. M. Discrete mathematics with graph theory. Prentice Hall, New York, 2005.
  • Cormen T. H., Leiserson, C.E., Rivest, R.L., Stein C. Introduction To Algorithms, MIT press, 2009
 Dopunska literatura
  • Garnier R., Taylor J. Discrete mathematics for new technology. Institute of Physics Publishing, Bristol & Philadelphia, 1999.
  • Veljan D. Kombinatorna i diskretna matematika. Algoritam, Zagreb, 2001.
  • Tucker, A. Applied combinatorics. John Wiley & Sons, Hoboken, 2007.
  • Dujella A., Maretić M. Kriptografija. Element, Zagreb, 2007.
 Slični kolegiji
Redoviti studenti Izvanredni studenti
izvanredni rok
Datum: 15.04.2026.
Vrijeme: 16:00
Opis: Na Fakultetu
U kalendaru ispod se nalaze konzultacije predmetnih nastavnika, no za detalje o konzultacijama možete provjeriti na profilu pojedinog predmetnog nastavnika.
 2025 © Fakultet organizacije i informatike, Centar za razvoj programskih proizvoda