FOI Nastava - Odabrana poglavlja matematike

Sadržaj se učitava...

FOI Nastava

apps

mdi-login

Odabrana poglavlja matematike

Selected Chapters in Higher Mathematics
2020/2021

7 ECTSa

Informacijski i poslovni sustavi 1.1 (PDS)

Katedra za kvantitativne metode

4. semestar

Osnovne informacijemdi-information-variant

Izvođači nastavemdi-account-group

Nastavni plan i programmdi-clipboard-text-outline

Model praćenjamdi-human-male-board

Ispitni rokovimdi-clipboard-check-outline

Rasporedmdi-calendar-clock

Konzultacijemdi-account-voice

Izvođenje kolegija

Studij	Studijski program	Semestar	Obavezan
Informacijski i poslovni sustavi 1.1 (PDS)	Poslovni sustavi	6	izborni
Informacijski i poslovni sustavi 1.1 (PDS)	Poslovni sustavi	4	izborni
Informacijski i poslovni sustavi 1.1 (PDS)	Informacijski sustavi	6	izborni
Informacijski i poslovni sustavi 1.1 (PDS)	Informacijski sustavi	4	izborni

Cilj kolegija

Cilj predmeta je uvođenje novih koncepata linearne algebre i matematičke analize, koji se dograđuju na one naučene u Matematici 1 i 2. Temeljem završetka programa ovog predmeta studenti će razumijeti i primjenjivati koncepte, algoritme i metode iz područja polinoma, analitičke 3D geometrije i funkcija dvije i više varijabli na probleme računalne grafike, optimizacije, odlučivanja i sl.

Preduvjeti

Matematika 2 (PDS 1.1)

Norma kolegija

Predavanja

45 sati

Seminar

30 sati

Nastavnik	Uloga na kolegiju	Oblik nastave	Tjedana	Sati	Grupa
Divjak Blaženka	Nositelj	Predavanja	15	3	1
Maretić Marcel	Nositelj	Seminar	15	2	2
Horvat Damir	Suradnik	Seminar	15	2	0
Žugec Bojan	Suradnik

Sadržaj predavanja

Definicija vektora. Zbrajanje i oduzimanje vektora
Povijesni osvrt. Motivacija za uvođenje pojma vektora. Primjeri upotrebe vektora u fizici. Definicija orijentirane dužine. Razlika između orijentirane dužine i dužine. Ekvivalentne orijentirane dužine. Klasa ekvivalentnih orijentiranih dužina (vektor). Vizualno objašnjenje razlike između pojma orijentirane dužine i pojma vektora. Modul, smjer i orijentacija vektora. Jednakost dva vektora. Nulvektor. Suprotni vektor. Zbrajanje vektora pravilom trokuta i pravilom paralelograma. Svojstva zbrajanja vektora. Oduzimanje vektora.
Baza i koordinatizacija
Množenje vektora skalarom. Svojstva množenja vektora skalarom. Jedinični vektor u smjeru nekog vektora. Kolinearni i komplanarni vektori. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora u ravnini i prostoru. Definicija baze u V2 i V3 . Lijeva i desna baza. Koordinate vektora u nekoj bazi. Svojstva koordinatizacije. Primjeri prikaza vektora u bazi i ispitivanja linearne zavisnosti i nezavisnosti vektora.
Skalarni produkt vektora
Kut između dva vektora. Definicija skalarnog produkta dva vektora. Nužan i dovoljan uvjet za okomitost dva vektora pomoću skalarnog produkta. Svojstva skalarnog produkta. Ortonormirana baza u V2 i V3. Koordinatni prikaz skalarnog produkta u ortonormiranoj bazi. Formula za duljinu vektora, ako su poznate njegove koordinate u ortonormiranoj bazi. Formula za računanje kuta između dva vektora koji su zadani svojim koordinatama u ortonormiranoj bazi. Kosinusi smjera vektora. Lagani uvod u vektorski prostor.
Vektorski i mješoviti produkt vektora
Definicija vektorskog produkta dva vektora. Pravilo desnog kažiprsta. Nužan i dovoljan uvjet za kolinearnost dva vektora pomoću vektorskog produkta. Antikomutativnost, neasocijativnost, kvaziasocijativnost i distributivnost vektorskog produkta. Koordinatni prikaz vektorskog produkta u ortonormiranoj bazi. Definicija algebre nad poljem realnih brojeva. Definicija mješovitog produkta tri vektora u V3. Nužan i dovoljan uvjet za komplanarnost tri vektora pomoću mješovitog produkta. Svojstva mješovitog produkta. Koordinatni prikaz mješovitog produkta u ortonormiranoj bazi. Volumen paralelopipeda i tetraedra.
Analitička geometrija trodimenzionalnog euklidskog prostora osnovni pojmovi
Aksiomi trodimenzionalnog euklidskog prostora. Točka, pravac i ravnina u prostoru. Koordinatizacija trodimenzionalnog euklidskog prostora. Pojam radijvektora. Udaljenost dvije točke u prostoru. Površina paralelograma i trokuta. Koordinate polovišta dužine. Koordinate težišta trokuta.
Ravnina u trodimenzionalnom euklidskom prostoru
Parametarska jednadžba ravnine u vektorskom obliku. Parametarske jednadžbe ravnine u skalarnom obliku. Jednadžba ravnine kroz tri nekolinearne točke. Opći oblik jednadžbe ravnine. Normala ravnine. Opći oblik jednadžbe ravnine u vektorskom obliku. Segmentni oblik jednadžbe ravnine. Normalni ili Hesseov oblik jednadžbe ravnine. Udaljenost točke od ravnine. Kut između dviju ravnina. Pramen i svežanj ravnina u prostoru. Međusobni položaj dvije ravnine u prostoru.
Pravac u prostoru
Parametarski oblik jednadžbe pravca u vektorskom obliku. Parametarske jednadžbe pravca u skalarnom obliku. Kanonski oblik jednadžbe pravca. Jednadžba pravca kroz dvije točke. Opće jednadžbe pravca. Kut između dva pravca. Udaljenost točke od pravca. Zajednička normala i udaljenost dvaju mimosmjernih pravaca. Kut između pravca i ravnine. Međusobni položaj dva pravca u prostoru. Međusobni položaj pravca i ravnine u prostoru.
Vektorski prostor
Definicija vektorskog prostora. Primjeri vektorskih prostora. Potprostor vektorskog prostora. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora u vektorskom prostoru. Linearni omotač skupa. Baza i dimenzija vektorskog prostora. Steinitzov teorem. Koordinatizacija vektorskog prostora. Transformacije koordinata. Matrica prijelaza iz jedne baze vektorskog prostora u drugu.
Linearni operator
Definicija linearnog operatora. Primjeri linearnih operatora. Zadavanje linearnog operatora. Definicija slike i jezgre (nulprostora) linearnog operatora. Definicija ranga i defekta linearnog operatora. Teorem o rangu i defektu. Matrični zapis linearnog operatora. Karakteristični polinom, svojstvene vrijednosti, svojstveni vektori i svojstveni potprostori linearnog operatora. Hamilton Cayleyev teorem. Minimalni polinom. Karakterisitični zadaci i interpretacija rezultata. Posebni linearni operatori u prostoru: rotacija, projekcije, homotetija, zrcaljenja. Translacija.
Prsten polinoma
Definicija polinoma. Zapis polinoma po rastućim i padajućim potencijama. Stupanj polinoma. Najstariji ili vodeći koeficijent polinoma. Slobodni koeficijent polinoma. Definicija nulpolinoma. Σ zapis polinoma. Normirani polinom. Određenost polinoma. Lagrangeov polinom. Funkcionalna jednakost polinoma. Formalna jednakost polinoma. Teorem o funkcionalnoj i formalnoj jednakosti polinoma. Teorem o nulpolinomu. Zbrajanje polinoma. Oduzimanje polinoma. Množenje polinoma. Teorem o dijeljenju polinoma. Algoritam za dijeljenje polinoma.
Hornerov algoritam. Najveća zajednička mjera polinoma.
Opis Hornerovog algoritma. Descartesov teorem. Računanje vrijednosti polinoma u nekoj točki pomoću Hornerovog algoritma. Analiza Hornerovog algoritma. Primjena Hornerovog algoritma na razvoj polinoma po potencijama od x-a. Primjena derivacije na razvoj polinoma po potencijama od x-a. Definicija najveće zajedničke mjere dva polinoma. Opis Euklidovog algoritma za računanje najveće zajedničke mjere dva polinoma. Definicija relativno prostih polinoma.
Rješavanje polinomskih jednadžbi
Definicija nultočke polinoma. Definicija korijena jednadžbe. Kratnost nultočke polinoma. Nužan i dovoljan uvjet kada polinom ima višestruke nultočke. Polje kompleksnih brojeva. Binomna jednadžba. n-ti korijeni iz jedinice. Osnovni teorem algebre. Cjelobrojne nultočke polinoma. Racionalne nultočke polinoma. Simetrične jednadžbe. Cardanove formule. Ferrarijeva metoda. Vieteove formule.
Funkcije više varijabli
Definicija funkcije više varijabli. Realna funkcija više varijabli. Primjeri funkcija više varijabli (npr. površina pravokutnika, volumen kvadra). Domena realne funkcije više varijabli. Određivanje domene realne funkcije dvije realne varijable. Geometrijska interpretacija funkcija. Graf realne funkcije dvije realne varijable. Prikazivanje realne funkcije dvije realne varijable nivo-linijama. Nivo-plohe realne funkcije tri realne varijable. Specijalne vrste funkcija dvije, tri i više varijabli. Linearna funkcija više varijabli.
Parcijalne derivacije
Limes funkcije više varijabli (Cauchyeva i Heineova definicija). Ekvivalencija Cauchyeve i Heineove definicije limesa funkcije više varijabli. Definicija neprekidnosti funkcije više varijabli. Definicija parcijalnih derivacija realne funkcije više realnih varijabli. Pravila parcijalnog deriviranja. Definicija derivabilnosti realne funkcije više varijabli. Parcijalne derivacije višeg reda. Schwarzow teorem.
Totalni diferencijal
Definicija diferencijabilnosti funkcije više varijabli. Totalni diferencijal funkcije više varijabli. Geometrijska interpretacija totalnog diferencijala. Veza između derivabilnosti i diferencijabilnosti funkcije više varijabli. Primjeri funkcija koje se osobito ponašaju u pogledu derivabilnosti i diferencijabilnosti. Primjena totalnog diferencijala kod približnog računanja.
Ekstremi realnih funkcija više varijabli
Definicija lokalnog minimuma i lokalnog maksimuma realne funkcije više varijabli. Definicija stacionarne ili kritične točke. Nužni i dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema. Sedlasta točka. Postupak traženja lokalnih ekstrema. Ekstremi neprekidne funkcije na kompaktu. Definicija vezanog ili uvjetnog ekstrema realne funkcije više varijabli. Lagrangeova funkcija. Interpretacija problema Lagrangeove funkcije i rezultata. Traženje uvjetnih ekstrema. Primjeri praktičnih problema koji se rješavaju pomoću uvjetnih ekstrema.

Sadržaj seminara/vježbi

Seminari prate predavanja
Gradivo naučeno na predavanjima se na raznim primjerima zadataka utvrdi na seminarima. Rješavaju se i primjeri iz stvarnog života da studenti imaju bolji i kvalitetniji uvid u nastavno gradivo.
Zadaće
Studenti uz razne zadaće imaju prilike za samostalno istraživanje. Uz ovakva manja samostalna istraživanja, studenti svoje sposobnosti timskog rada pokazuju na projektnom zadatku.

Ishodi učenja kolegija

razumjeti osnovne pojmove i poznavati primjere iz područja vektorskih prostora, linearnih operatora i matematičke analize
rješavati zadatke iz područja analitičke geometrije u trodimenzionalnom prostoru s naglaskom na njihovu upotrebljivost u području računalne grafike
primijeniti različite koncepte za određivanje linearne zavisnosti i nezavisnosti vektora, te baze, u pojedinim vektorskim prostorima (prostor vektora, matrica, polinoma, funkcija i sl.) s naglaskom na njihovu upotrebljivost u operacijskim istraživanjima
dokazati osnovne teoreme o polinomima koji ujedno daju i algoritme za traženje nultočaka polinoma
razumjeti pojam i geometrijsku interpretaciju parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli, te optimizaciju funkcija više varijabli (traženje ekstrema i uvjetnih ekstrema)
primijeniti metode više matematike na traženje ekstrema i uvjetnih ekstrema funkcije dvije, i eventualno tri, varijable
analizirati zadani realni problem, odabrati prikladnu metodu rješavanja iz skupa metoda naučenih na ovom predmetu i drugim predmetima na studiju, kao i identificiranje nekih novih metoda kako bi se problem riješio na efikasan i efektivan način

Ishodi učenja programa

razumjeti stanje i trendove razvoja suvremenih informacijskih i komunikacijskih tehnologija (ICT), razumjeti njihov utjecaj na pojedinca, organizaciju i društvo te procijeniti njihovu primjenjivost u zadanom kontekstu
razumjeti i primijeniti ključne aspekte informacijske tehnologije (programiranje, algoritmi, strukture podataka, baze podataka i znanja
razumjeti i primijeniti suvremene tehničke koncepte i prakse u informacijskim tehnologijama (arhitektura računala, operacijski sustavi, mreže računala)
razumjeti i primijeniti matematičke metode, modele i tehnike primjerene rješavanju problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava
razumjeti bitne čimbenike koji utječu na poslovanje organizacije i pojedinaca te primijeniti osnovne metode i koncepte planiranja, upravljanja i obračuna poslovanja
analizirati stanje, identificirati prilike i definirati probleme s kojima se susreću organizacije i pojedinci u primjeni ICT, te formulirati rješenja uz primjenu ICT
razumjeti osnovna vertikalna područja primjene ICT (industrija, zdravstvo, promet, turizam, država i sl.), te horizontalne aplikacije (uredski sustavi, DSS, CRM, ERP, DMS i sl.)
razumjeti i primijeniti suvremene metodološke pristupe razvoja organizacijskih i informacijskih sustava, te oblikovanja organizacije i organizacijske strukture
razumjeti suvremene organizacijske koncepte i upravljati organizacijskom kulturom
modelirati poslovne procese i podatke u organizacijama i primijeniti modele u razvoju informacijskih i poslovnih sustava
razumjeti i primijeniti metode, tehnike razvoja informacijskih i programskih sustava u suvremenim razvojnim okolinama
razumjeti i primijeniti procese, metode i tehnologije upravljanja IT uslugama i resursima te podrške i pružanja različitih vrsta usluga vezanih uz ICT
razumjeti i primijeniti etička načela, zakonsku regulativu i norme koje se primjenjuju u struci
razumjeti osnovna načela i metode upravljanja organizacijom i uspješno raditi u timu
uspješno komunicirati s klijentima, korisnicima i kolegama na verbalan i pisani način uz primjenu odgovarajuće terminologije uključujući i sposobnost komunikacije o struci na stranom jeziku
pratiti stručnu literaturu na hrvatskom i stranom jeziku, pripremiti i samostalno održati prezentacije na hrvatskom i stranom jeziku stručnoj i općoj publici, te kritičku evaluaciju prezentirane stručne teme
razumjeti i primijeniti vještine učenja potrebne za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja na diplomskom studiju
razumjeti i primijeniti osnovne principe planiranja i razvoja karijere u struci i vlastitih poduzetničkih poduhvata
poznavati ključne aspekte informacijske tehnologije
identificirati i razumjeti bitne čimbenike koji utječu na poslovanje organizacije i pojedinaca te primijeniti osnovne metode i koncepte planiranja, upravljanja i obračuna poslovanja
prepoznati osnovna vertikalna područja primjene ICT (industrija, zdravstvo, promet, turizam, država i sl.), te horizontalne aplikacije (uredski sustavi, DSS, CRM, ERP, DMS i sl.)
razumjeti metode, tehnike razvoja informacijskih i programskih sustava u suvremenim razvojnim okolinama
razumjeti procese, metode i tehnologije upravljanja IT uslugama i resursima te podrške i pružanja različitih vrsta usluga vezanih uz ICT
identificirati ključne podatke i informacije za donošenje racionalnih poslovnih odluka
analizirati i vrednovati rezultat poslovanja, te predložiti unapređenje poslovnog sustava.
PROBAnje OPISivanja....

Osnovna literatura

Lončar, I. Matematičke metode za informatičare I. Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 1997.
Lončar, I. Matematičke metode za informatičare II. Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 1998.

Dopunska literatura

Sallas, S.; Hille, E.; Etgen, G. Calculus: one and several variables: student solutions manual. 9th ed. Wiley, Hoboken, 2003.
Lang, S. Linear Algebra. 3rd ed. Springer, New York, 1987.
Lang, S. Calculus of Several Variables. 3rd ed. Springer, New York, 1987.
Anton, H.; Rorres, C. Elementary linear algebra. Wiley and Sons, New York, 2005.
Kreyszig, E. Advanced Engeneering Mathematics. John Wiley, Hoboken, 2006.

Slični kolegiji

Sveučilište u Zagrebu, FER, Matematika 2 http://www.fer.hr/predmet/mat2
Sveučilište u Zagrebu, RGN, Matematika 2 http://www.rgn.hr/
University of Oxford, Mathematical methods, http://www.admissions.ox.ac.uk/courses/eema.shtml

Redoviti studenti

Izvanredni studenti

izvanredni rok

Datum: 27.11.2024.

Vrijeme: 16:00

Opis: Na Fakultetu

izvanredni rok

Datum: 25.04.2025.

Vrijeme: 16:00

Opis: Na Fakultetu

U kalendaru ispod se nalaze konzultacije predmetnih nastavnika, no za detalje o konzultacijama možete provjeriti na profilu pojedinog predmetnog nastavnika.