FOI Nastava - Matematika 2

Sadržaj se učitava...

FOI Nastava

apps

mdi-login

Matematika 2

Mathematics 2
2022/2023

6 ECTSa

Informacijski i poslovni sustavi 1.2 (IPS)

Katedra za kvantitativne metode

2. semestar

Osnovne informacijemdi-information-variant

Izvođači nastavemdi-account-group

Nastavni plan i programmdi-clipboard-text-outline

Model praćenjamdi-human-male-board

Ispitni rokovimdi-clipboard-check-outline

Rasporedmdi-calendar-clock

Konzultacijemdi-account-voice

Izvođenje kolegija

Studij	Studijski program	Semestar	Obavezan
Informacijski i poslovni sustavi 1.2 (IPS)		2	obavezan

Cilj kolegija

Cilj predmeta je upoznavanje studenata s osnovnim matematičkim konceptima neophodnim za razumijevanje sadržaja iz područja informatičke struke. U okviru predmeta studenti će ponoviti i proširiti znanja o elementarnim realnim funkcijama realnih varijabli te ovladati osnovnim konceptima i tehnikama diferencijalnog i integralnog računa. Generički ciljevi obuhvaćaju upotrebu literature, korištenje IKT vještina u pismenoj prezentaciji matematičkog teksta, razvijanje strategija rješavanja problemskih zadataka i vještina apstrakcije.

Preduvjeti

Matematika 1 (IPS 1.2)

Norma kolegija

Predavanja

30 sati

Seminar

30 sati

Nastavnik	Uloga na kolegiju	Oblik nastave	Tjedana	Sati	Grupa
Divjak Blaženka	Nositelj	Predavanja	15	2	1
Erjavec Zlatko	Nositelj	Predavanja	15	2	1
Žugec Bojan	Nositelj
Horvat Damir	Suradnik	Seminar	15	2	2
Jakuš Marija	Suradnik	Seminar	15	2	1
Klemenčić Damjan	Suradnik	Seminar	15	2	2
Bosak Mihaela	Suradnik
Žugec Petra	Suradnik	Seminar	15	2	2
Mavrek Iva	Suradnik	Seminar	15	2	3
Matijanić David	Demonstrator	Demonstrature	14	2	1
Šalov Antonio	Demonstrator	Demonstrature	14	2	1

Sadržaj predavanja

Realne funkcije realne varijable. Domena funkcije. Kompozicija. Bijekcija. Graf funkcije. (2 sata)
Definicija funkcije. Slika funkcije. Zadavanje funkcija: numerički, algebarski i grafički. Graf funkcije. Klasifikacija realnih funkcija realne varijable. Primjeri algebarski racionalnih, algebarski iracionalnih i transcedentnih funkcija. Homografska funkcija. Definicija domene funkcije. Određivanje domena realnih funkcija realne varijable: racionalnih i iracionalnih funkcija, logaritamskih funkcija, ciklometrijskih funkcija arkus sinus i arkus kosinus. Pojam i svojstva kompozicije funkcija. Identično preslikavanje. Definicija inverzne funkcije. Svojstva injektivnosti, surjektivnosti i bijektivnosti funkcije. Određivanje inverza bijektivne funkcije. Simetričnost grafova inverznih funkcija. Restrikcija funkcije.
Svojstva realnih funkcija realne varijable. (2 sata)
Definicija nultočke funkcije. Definicija funkcije ograničene odozgo (odozdo). Gornja i donja međa funkcije. Primjeri ograničenih funkcija. Određivanje donje i gornje međe za funkciju arctg. Definicija pada i rasta funkcije. Primjeri rastućih i padajućih funkcija. Definicija lokalnog minimuma i maksimuma funkcije. Definicija periodične funkcije. Primjeri periodičnih funkcija (trigonometrijske funkcije). Definicija parne i neparne funkcije. Primjeri parnih i neparnih funkcija. Simetrije grafova parnih i neparnih funkcija.
Primjeri funkcija i njihovih grafova. (2 sata)
Polinomske funkcije: konstantna funkcija, afina funkcija, kvadratna funkcija. Primjeri racionalnih i iracionalnih funkcija. Definicija eksponencijalne funkcije. Grafovi eksponencijalnih funkcija s bazom većom od 1 i bazom između 0 i 1. Svojstva eksponencijalnih funkcija. Primjer krivulje učenja i logističke krivulje. Logaritamska funkcija kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije. Grafovi logaritamskih funkcija s bazom većom od 1 i bazom između 0 i 1. Svojstva logaritama. Prirodni logaritmi. Trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens, kotangens. Relacije među trigonometrijskim funkcijama. Uvođenje cikolometrijskih funkcija kao inverznih funkcija trigonometrijskim funkcijama. Cjelobrojne funkcije. Transformacije grafa funkcije. Funkcijski modeli. Primjena funkcijskih matematičkih modela u informacijskim i komunikacijskim znanostima. Korelacija brzine rasta funkcije i složenosti algoritma. Primjeri algoritama polinomijalne složenosti.
Nizovi realnih brojeva i njihova svojstva. (2 sata)
Definicija niza realnih brojeva. Zadavanje nizova (nabrajanjam prvih članova, općim članom niza, rekurzivnom formulom). Fibonaccijev niz. Definicije aritmetičkog i geometrijskog niza. Karakterizacije aritmetičkog i geometrijskog niza. Opći član i suma prvih n članova aritmetičkog i geometrijskog niza. Definicija rastućeg i padajućeg niza. Definicija omeđenog niza. Primjeri monotonih nizova. Primjeri omeđenih nizova. Definicija gomilišta niza.
Limes niza realnih brojeva. Red. (2 sata)
Definicija limesa niza. Karakterizacija limesa niza. Bolzano-Weierstrassov teorem o postojanju gomilišta niza. Teorem o nužnim i dovoljnim uvjetima za postojanje limesa niza. Veza između limesa i gomilišta niza. Svojstva limesa nizova. Dokaz teorema o svojstvima limesa niza. Važniji limesi nizova i njihovi izvodi. Računanje limesa upotrebom svojstava limesa i važnijih limesa. Definicija k-te parcijalne sume niza i niza parcijalnih suma. Definicija reda. Definicija sume reda. Nužan uvjet konvergencije reda. Definicija geometrijskog reda. Suma geometrijskog reda. Računanje suma nekih geometrijskih redova.
Limes funkcije. (2 sata)
Motivacija za uvođenje limesa funkcije. Intuitivna definicija limesa funkcije. Heineova definicija limesa funkcije. Definicije limesa funkcije slijeva i zdesna. Cauchyjeva definicija limesa funkcije. Nužan i dovoljan uvjet postojanja limesa funkcije. Teorem o svojstvima limesa funkcije. Dokaz nekih svojstava limesa funkcije. Teorem o sendviču. Izvodi važnijih limesa funkcija. Neodređeni izrazi. Primjena limesa funkcije u usporedbi složenosti algoritama.
Neprekidnost funkcije. (2 sata)
Definicija neprekidnosti funkcije u točki. Kriteriji neprekidnosti funkcije u točki. Definicija funkcije neprekidne na intervalu. Propozicija o sumi i produktu konačno mnogo neprekidnih funkcija. Primjeri neprekidnih funkcija: polinomske funkcije, racionalne funkcije i elementarne funkcije. Primjeri funkcija koje nisu neprekidne (cjelobrojne funkcije, funkcija predzanaka). Definicija prekida funkcije u točki. Klasifikacija prekida: prekidi prve vrste (uklonjivi i neuklonjivi) i prekidi druge vrste. Primjeri različitih prekida funkcije. Definicija neprekidne funkcije na zatvorenom intervalu. Teorem o međuvrijednosti i njegove osnovne primjene. Teorem o ekstremima funkcije na zatvorenom intervalu. Definicija asimptote funkcije. Određivanje vertikalne, horizontalne i kose asimptote funkcije.
Derivacija funkcije. (2 sata)
Motivacija za uvođenjem diferencijalnog računa. Newtonov i Leibnizov pristup diferencijalnom računu. Problem tangente. Geometrijska interpretacija derivacije funkcije u točki. Definicija derivacije funkcije u točki. Nužan uvjet za postojanje derivacije u točki. Derivacija funkcije na intervalu. Pravila deriviranja: derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta funkcije. Izvod derivacije identitete, linearne funkcije, kvadratne funkcije, potencije, iracionalne funkcije drugog korijena, eksponencijalne i logaritamske funkcije i trigonometrijskih funkcija. Tablica derivacija elementarnih funkcija.
Derivacija složene funkcije. Diferencijal funkcije. (2 sata)
Derivacija kompozicije funkcije. Derivacija inverzne funkcije. Primjer izvoda derivacije funkcije arkus sinus po pravilu za deriviranje inverzne funkcije. Derivacija implicitno zadane funkcije i primjeri. Logaritamska derivacija i primjeri. Tablica derivacija. Induktivno uvođenje pojma derivacije višeg reda. Diferencijal funkcije i njegovo geometrijsko značenje. Primjena derivacija (L'Hospitalovo pravilo) na računanje limesa neodređenih oblika.
Primjena derivacija. (2 sata)
Pojam tangente i normale funkcije. Računanje tangente i normale zadane krivulje u zadanoj točki. Definicija kuta među krivuljama. Određivanje kuta između zadanih dviju krivulja. Karakterizacija pada i rasta funkcije na intervalu pomoću prve derivacije funkcije. Određivanje intervala monotonosti zadane funkcije. Fermatov teorem - nužan uvjet postojanja lokalnih ekstrema. Stacionarna točka. Određivanje lokalnih ekstrema pomoću prve derivacije funkcije. Određivanje lokalnih ekstrema pomoću druge derivacije funkcije.
Tok funkcije. Teoremi o srednjoj vrijednosti. (2sata)
Definicija konveksne i konkavne funkcije. Točka infleksije. Nužan uvjet za točku infleksije. Određivanje ekstrema i točaka infleksije. Opći teorem o određivanju ekstrema i točaka infleksije pomoću derivacija višeg reda. Tok funkcije: nultočke, domena, svojstva (parnost, neparnost...), ekstremi, pad i rast, konveksnost i konkavnost, točka infleksije. Skiciranje grafa funkcije upotrebom elemenata analize funkcije. Četiri teorema o srednjoj vrijednosti: Fermatov teorem, Lagrangeov teorem, Rolleov teorem i Cauchyjev teorem.
Neodređeni integrali. (2 sata)
Definicija primitivne funkcije (antiderivacije). Definicija neodređenog integrala. Tablica neodređenih integrala. Svojstva neodređenih integrala. Metode integriranja: neposredno integriranje, metoda supstitucije, i metoda parcijalne integracije. Tipični primjeri primjene metode parcijalne integracije.
Integriranje racionalnih i trigonometrijskih funkcija. (2 sata)
Integriranje nekih racionalnih funkcija rastavljanjem podintegralne funkcije na parcijalne razlomke. Integriranje trigonometrijskih funkcija. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u) gdje je R racionalna funkcija, a u=tgx. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u,v), gdje je R racionalna funkcija, a u= cos2x i v=sin2x. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u,v), gdje je R racionalna funkcija, a u=cosx i v=sinx. Integriranje funkcije oblika sinmxcosnx. Primjeri računanja integrala gore navedenim metodama.
Problem površine i određeni integral. (2 sata)
Pojam površine. Problem određivanja površine pseudotrapeza. Razdioba intervala. Minimum i maksimum funkcije na podintervalima. Definicija donje i gornje integralne sume kao sume površina svih pravokutnika ispod grafa, odnosno iznad grafa funkcije. Definicija određenog integrala kao zajedničkog limesa gornje i donje integralne sume. Newton-Leibnizova formula – veza između određenog integrala i primitivne funkcije podintegralne funkcije.
Računanje površina pomoću određenog integrala. (2 sata)
Svojstva određenog integrala. Računanje određenih integrala upotrebom svojstava i Newton-Leibizove formule. Proširivanje pojma određeni integral na negativne funkcije. Računanje površine ravninskog lika na intervalu na kojem funkcija mijenja predznak. Računanje volumena tijela nastalog rotacijom neprekidne funkcije oko osi (volumen rotacijskog tijela).

Sadržaj seminara/vježbi

Ishodi učenja kolegija

Opisati elementarne realne funkcije realne varijable, nabrojati njihova svojstva i skicirati njihove grafove.
Riješiti matematički problem iz područja nizova, limesa nizova i redova.
Primijeniti limes funkcije u ispitivanju neprekidnosti funkcije.
Upotrebljavati elementarne funkcije i njihova svojstva pri rješavanju jednostavnih realnih problema.
Objasniti koncept derivacije realne funkcije realne varijable te geometrijsku interpretaciju derivacije funkcije u točki.
Analizirati tok elementarnih funkcija upotrebom derivacija te skicirati njihove grafove.
Odrediti antiderivaciju funkcije i primijeniti integralni račun pri računanju površine i volumena.
Analizirati i riješiti problemski zadatak iz područja matematičke analize te njegovo rješenje prezentirati u obliku korektnog matematičkog teksta.
Primijeniti nizove i redove u rješavanju problema iz područja informacijskih znanosti.
Primjeniti derivaciju funkcije u pronalaženju lokalnih i globalnih ekstrema funkcije jedne varijable te točaka infleksije funkcije.

Ishodi učenja programa

razumjeti i primijeniti matematičke metode, modele i tehnike primjerene rješavanju problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava
modelirati poslovne procese i podatke u organizacijama i primijeniti modele u razvoju informacijskih i poslovnih sustava
razumjeti i primijeniti vještine učenja potrebne za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja na diplomskom studiju.

Osnovna literatura

Divjak B., Hunjak T., Matematika za informatičare, TIVA - FOI, Varaždin, 2004.
Divjak B., Hunjak T., Ostroški M., Zbirka zadataka iz matematike, TIVA - FOI, Varaždin, 2008.

Dopunska literatura

Etgen G. J., Salas and Hille's Calculus: one and several variables, John Wiley & Sons, 8th edition, Hoboken, New Jersey, 1999.
Simon, C.P.; Blume, L. Mathematics for Economists. New Delhi: Viva Books, 2009.
Kurepa S., Matematička analiza 1, Tehnička knjiga, Zagreb, 1984

Slični kolegiji

Redoviti studenti

Izvanredni studenti

izvanredni rok

Datum: 22.04.2026.

Vrijeme: 16:00

Opis: Na Fakultetu

U kalendaru ispod se nalaze konzultacije predmetnih nastavnika, no za detalje o konzultacijama možete provjeriti na profilu pojedinog predmetnog nastavnika.