FOI Nastava - Matematika 1

Sadržaj se učitava...

FOI Nastava

apps

mdi-login

Matematika 1

Mathematics 1
2025/2026

5 ECTSa

Informacijski i poslovni sustavi 1.2 (IPS)

Katedra za kvantitativne metode

1. semestar

Osnovne informacijemdi-information-variant

Izvođači nastavemdi-account-group

Nastavni plan i programmdi-clipboard-text-outline

Model praćenjamdi-human-male-board

Ispitni rokovimdi-clipboard-check-outline

Rasporedmdi-calendar-clock

Konzultacijemdi-account-voice

Izvođenje kolegija

Studij	Studijski program	Semestar	Obavezan
Informacijski i poslovni sustavi 1.2 (IPS)		1	obavezan

Cilj kolegija

Cilj predmeta je upoznavanje studenata s osnovnim matematičkim konceptima neophodnim za razumijevanje sadržaja iz područja informatičke struke. U okviru predmeta studenti će ovladati osnovnim konceptima matematičke logike, tehnikama matričnog računa i metodama rješavanja sustava linearnih jednadžbi i nejednadžbi. Generički ciljevi predmeta su razvijanje matematičke komunikacije i IKT vještina te posebno razvijanje strategija rješavanja problemskih zadataka.

Preduvjeti

Kolegij nema definirane preduvjete

Norma kolegija

Predavanja

30 sati

Seminar

30 sati

Nastavnik	Uloga na kolegiju	Oblik nastave	Tjedana	Sati	Grupa
Divjak Blaženka	Nositelj	Predavanja	15	2	0
Erjavec Zlatko	Nositelj
Maretić Marcel	Nositelj	Predavanja	15	2	2
Horvat Damir	Suradnik
Jakuš Marija	Suradnik	Seminar	15	2	2
Bosak Mihaela	Suradnik	Seminar	15	2	3
Mavrek Iva	Suradnik	Seminar	15	2	2
Daković Petra	Suradnik	Seminar	15	2	1
Banjavčić Luciano	Demonstrator	Demonstrature	15	2	1
Vlahek Domagoj	Demonstrator	Demonstrature	15	2	1

Sadržaj predavanja

Matematički modeli i struktura matematike. (2 sata)
Pojam matematičkog modela. Svrha matematičkog modela. Vrste matematičkih modela. Komponente i izgradnja matematičkog modela. Koraci u matematičkom modeliranju. Karakteristike dobrog matematičkog modela. Ograničenja u matematičkom modeliranju. Primjeri matematičkih modela. Struktura matematike. Matematički pojmovi i vrste zaključivanja. Izgradnja matematičke teorije. Primjer aksiomatskog sustava. Sigma notacija. Matematička indukcija. Binomni poučak.
Jezik logike sudova. (2 sata)
Kratka povijest logike. Osnovni logički veznici – negacija, konjunkcija, disjunkcija, kondicional i bikondicional. Formalni jezik (sintaksa) klasične propozicijske logike. Prioritet logičkih veznika. Odnos formalnog i prirodnog jezika. Primjeri posebnih oblika propozicijskih formula. Konjunktivna i disjunktivna normalna forma.
Semantika klasične propozicijske logike. (2 sata)
Interpretacija (valuacija) logičkih veznika i složenih formula. Tablica istinitosti. Diskusija paradoksa materijalnog kondicionala. Logička implikacija i logička ekvivalencija. Svojstva logičkih veznika (asocijativnost, komutativnost, distributivnost, De Morganovi zakoni). Teoreom o normalnoj formi. Prevođenje u normalnu formu. Minimizacija normalne forme (Veitchovom metodom).
Predikati i kvantifikacijska logika. (2 sata)
Predikati. Kategoričke tvrdnje. Kvantifikatori. Formalni jezik kvantifikacijske logike. Formalno zapisivanje kategoričkih izjava prirodnog jezika. Doseg kvantifikatora. Interpretacija zatvorene formule (rečenice). Ograničena kvantifikacija. Negiranje kvantifikatora. Primjer primjene kvantifikatora u logičkom programiranju.
Dokazi u matematici. (2 sata)
Iskazivanje matematičkih teorema u obliku implikacije. Nužni i dovoljni uvjeti implikacije. Obrat implikacije. Suprotna implikacija. Kontrapozicija teorema. Osnovne vrste matematičkih dokaza: direktni dokaz, dokaz kontrapozicijom, dokaz kontradikcijom, dokaz niza ekvivalentnih tvrdnji i dokaz matematičkom indukcijom. Obaranje (univerzalne) tvrdnje protuprimjerom.
Skupovi. (2 sata)
Osnovni pojmovi teorije skupova. Zadavanje skupa. Paradoksi teorije skupova. Doprinos Cantora i Zermela. Skupovi brojeva. Kardinalni broj konačnog skupa. Relacije među skupovima: relacija sadržavanja, jednakost skupova, pravi podskup. Partitivni skup. Operacije sa skupovima: unija, presjek, razlika, komplement, simetrična razlika. Svojstva skupovnih operacija: zakon idempotencije, komutativnost, asocijativnost, distributivnost, De Morganovi zakoni, zakon involucije, zakon identitete. Tablice pripadnosti. Kartezijev produkt skupova. Prikaz elemenata Kartezijevog skupa pomoću točaka u ravnini.
Binarne relacije. (2 sata)
Definicija binarne relacije. Primjeri relacija. Graf relacije. Matrica incidencije. Obrat, komplement i dualna relacija zadane relacije. Svojstva binarnih relacija: refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost, irefleksivnost, antisimetričnost, kompletnost, stroga kompletnost. Dokazivanje svojstava zadane binarne relacije. Interpretacija svojstava relacije iz grafa relacije i matrice incidencije. Svojstva relacije ekvivalencije. Primjeri relacija ekvivalencije. Particija skupa i klasa ekvivalencije. Kvocijentni skup. Modularna ekvivalencija (kongruencija). Primjeri primjene modularne ekvivalencije u informatici.
Relacija parcijalnog uređaja. Funkcije kao relacije. (2 sata)
Svojstva relacije parcijalnog uređaja. Provjera svojstava relacije parcijalnog uređaja. Najveći i najmanji element u parcijalno uređenom skupu. Teorem o jedinstvenosti najvećeg i najmanjeg elementa. Linearno uređen skup ili lanac. Relacija dobrog uređaja. Uvođenje pojma funkcije pomoću binarne relacije. Konstantna funkcija. Injekcija. Surjekcija. Bijekcija. Inverzna funkcija. Ekvipotentni skupovi. Kardinalni broj skupa. Konačni i beskonačni skupovi. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi. Primjeri dokaza ekvipotentnosti beskonačnih skupova. Hipoteza kontinuuma.
Definicija matrice, specijalne vrste matrica. Operacije s matricama. (2 sata)
Motivacija za uvođenjem matrica. Primjeri primjene matrica u računalnoj grafici. Definicija matrice. Format matrice. Primjeri matrica. Jednakost matrica. Posebne vrste matrica: kvadratna, dijagonalna, gornjetrokutasta, donjetrokutasta, jedinična, nulmatrica, jednoredna, jednostupčana, simetrična i antisimetrična matrica. Operacije s matricama: transponiranje matrica, zbrajanje matrica, množenje matrice realnim brojem. Aditivna grupa matrica. Svojstva množenja matrica realnim brojem. Skalarni produkt uređenih n-torki. Množenje ulančanih matrica. Svojstva množenja matrica. Definicija inverzne matrice. Određivanje inverzne matrice matrica reda 2 i 3. Motivacija za uvođenje determinanti.
Determinante. Svojstva determinanti. (2 sata)
Pojam permutacije skupa. Pojam determinante. Računanje determinanti drugog i trećeg reda po definiciji. Sarrusovo pravilo za računanje determinante matrice trećeg reda. Svojstva determinanti. Binet-Cauchyjev teorem. Računanje determinante svođenjem na determinantu trokutaste matrice.
Laplaceov razvoj determinante. Inverzna matrica. Matrične jednadžbe. (2 sata)
Regularna i singularna matrica. Pojam minore matrice. Algebarski komplement (kofaktor). Izvod formule za Laplaceov razvoj determinate. Definicija inverzne matrice. Primjena algebarskih komplemenata za određivanje inverza regularnih matrica reda 2 i 3. Svojstva inverzne matrice. Matrične jednadžbe. Rješavanje matričnih jednadžbi oblika AX=B i XA=B. Jednažba AX+XB=C. Primjeri rješavanja matričnih jednadžbi.
Sustav m linearnih jednadžbi s n nepoznanica. (2 sata)
Pojam linearne jednadžbe s n nepoznanica. Definiranje sustava m linearnih jednadžbi s n nepoznanica. Uvođenje pojmova: određen, neodređen i kontradiktoran sustav. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice: postupak i primjeri. Rješavanje sustava jednadžbi pomoću determinanti. Cramerovo pravilo o rješenjima sustava linearnih jednadžbi. Primjeri određenih, neodređenih i kontradiktornih sustava n jednadžbi s n nepoznanica riješenih pomoću Cramerovog postupka.
Gaussov postupak. (2 sata)
Pojam ekvivalentnih sustava linearnih jednadžbi. Elementarne transformacije sustava jednadžbi. Opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Posebno (partikularno) rješenje sustava linearnih jednadžbi. Bazično rješenje sustava linearnih jednadžbi. Tipični primjeri zadataka rješavanja sustava linearnih jednadžbi pomoću Gaussovog postupka. Uspoređivanje triju obrađenih metoda rješavanja sustava i njihove efikasnosti u pojedinim slučajevima. Određivanje inverzne matrice pomoću Gaussovog postupka.
Rang matrice. Homogeni sustav linearnih jednadžbi. (2 sata)
Definicija ranga matrice. Određivanje ranga matrice po definiciji. Određivanje ranga matrice upotrebom elementarnih transformacija na recima i stupcima. Kronecker-Capellijev teorem o konzistentnosti sustava jednadžbi i njegov dokaz. Homogeni sustav linearnih jednadžbi. Roucheov teorem. Veza Roucheovog teorema i Kronecker-Capellijevog teorema.
Sustavi linearnih nejednadžbi. (2 sata)
Ponavljanje: rješavanje linearna i kvadratna nejednadžbe jedne varijable. Uvođenje pojma linearne nejednadžbe više varijabli. Sustav linearnih nejednadžbi s dvjema varijablama. Grafičko rješavanje sustava linearnih nejednadžbi s dvjema varijablama. Opće rješenje sustava linearnih nejednadžbi. Elementarne transformacije sustava linearnih nejednadžbi. Pridruživanje ekvivalentnog sustava linearnih jednadžbi sustavu linearnih nejednadžbi uvođenjem dopunskih varijabli. Interpretacija bazičnih rješenja pripadnog sustava linearnih jednadžbi. Rješivost sustava linearnih nejednadžbi.

Sadržaj seminara/vježbi

Ishodi učenja kolegija

Opisati osnovne karakteristike, vrste i svrhe matematičkih modela u znanosti te ograničenja u modeliranju.
Analizirati odnose i operacije među skupovima.
Analizirati matematičke tvrdnje pomoću klasične logike sudova.
Analizirati i formalno zapisati matematičke tvrdnje pomoću kvantifikacijske logike.
Objasniti strukturu izlaganja matematičke teorije i razlikovati uobičajene vrste matematičkog dokaza.
Definirati binarne relacije i njihova istaknuta svojstva pomoću kvantifikacijskih formula.
Prezentirati osnovne koncepte i teoreme matričnog računa.
Primijeniti matrični račun u rješavanju standardnih matematičkih problema.
Primijeniti matrični račun u rješavanju problema u području primjene.
Dokazati osnovne teoreme o rješivosti sustava linearnih jednadžbi i nejednadžbi.
Riješiti sustav linearnih jednadžbi i nejednadžbi korištenjem odgovarajuće metode.
Primijeniti uređajne relacije i relacije ekvivalencije u rješavanju problema iz područja informatike.
Modelirati realni problem pomoću sustava linearnih jednadžbi i nejednadžbi.
Koristiti matematičku literaturu različitih izvora, barem jedan alat za obradu matematičkog teksta te sustav za e-učenje uvažavajući specifičnosti matematike kao struke.

Ishodi učenja programa

razumjeti i primijeniti matematičke metode, modele i tehnike primjerene rješavanju problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava
modelirati poslovne procese i podatke u organizacijama i primijeniti modele u razvoju informacijskih i poslovnih sustava
razumjeti i primijeniti vještine učenja potrebne za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja na diplomskom studiju.

Osnovna literatura

Divjak B., Hunjak T., Matematika za informatičare, TIVA - FOI, Varaždin, 2004.
Divjak B., Hunjak T., Ostroški M., Zbirka zadataka iz matematike, TIVA - FOI, Varaždin, 2008.

Dopunska literatura

Anton H., Rorres C., Elementary linear algebra, Application version, John Wiley & Sons, 8th edition, Hoboken, New Jersey, 2000.
Rosen K.H., Discrete Mathematics and its Applications, McGraw Hill, 5th edition, New York, 2003.

Slični kolegiji

Redoviti studenti

Izvanredni studenti

izvanredni rok

Datum: 19.11.2025.

Vrijeme: 16:00

Opis: Na Fakultetu

izvanredni rok

Datum: 15.04.2026.

Vrijeme: 16:00

Opis: Na Fakultetu

U kalendaru ispod se nalaze konzultacije predmetnih nastavnika, no za detalje o konzultacijama možete provjeriti na profilu pojedinog predmetnog nastavnika.