Sadržaj se učitava...
mdi-home Početna mdi-account-multiple Djelatnici mdi-script Studiji mdi-layers Katedre mdi-calendar-clock Raspored sati FOI Nastava search apps mdi-login
Matematika 1
Mathematics 1
2021/2022
5 ECTSa
Informacijski i poslovni sustavi 1.2 (IPS)
Katedra za kvantitativne metode
ZP
1. semestar
Osnovne informacijemdi-information-variant Izvođači nastavemdi-account-group Nastavni plan i programmdi-clipboard-text-outline Model praćenjamdi-human-male-board Ispitni rokovimdi-clipboard-check-outline Rasporedmdi-calendar-clock Konzultacijemdi-account-voice
Izvođenje kolegija
Studij Studijski program Semestar Obavezan
Informacijski i poslovni sustavi 1.2 (IPS) 1 obavezan
Cilj kolegija
Cilj predmeta je upoznavanje studenata s osnovnim matematičkim konceptima neophodnim za razumijevanje sadržaja iz područja informatičke struke. U okviru predmeta studenti će ovladati osnovnim konceptima matematičke logike, tehnikama matričnog računa i metodama rješavanja sustava linearnih jednadžbi i nejednadžbi. Generički ciljevi predmeta su razvijanje matematičke komunikacije i IKT vještina te posebno razvijanje strategija rješavanja problemskih zadataka.
Preduvjeti
Kolegij nema definirane preduvjete
Norma kolegija
Predavanja
30 sati
Seminar
30 sati
Nastavnik Uloga na kolegiju Oblik nastave Tjedana Sati Grupa
Divjak Blaženka Nositelj Predavanja
Predavanja
15
4
2
2
1
1
Erjavec Zlatko Nositelj
Maretić Marcel Nositelj Predavanja
Seminar
11
15
2
2
1
1
Jakuš Marija Suradnik Seminar 15 2 3
Klemenčić Damjan Suradnik Seminar 15 2 3
Bosak Mihaela Suradnik Seminar 15 2 1
Žugec Petra Suradnik Seminar 16 2 1
Tomašić Tin Demonstrator Demonstrature 15 2 1
Midžić Noa Demonstrator Demonstrature 15 2 1
Sadržaj predavanja
  • Matematički modeli i struktura matematike (2 sata)
    Pojam matematičkog modela. Svrha matematičkog modela. Vrste matematičkih modela. Komponente i izgradnja matematičkog modela. Koraci u matematičkom modeliranju. Karakteristike dobrog matematičkog modela. Ograničenja u matematičkom modeliranju. Primjeri matematičkih modela. Struktura matematike. Matematički pojmovi i vrste zaključivanja. Izgradnja matematičke teorije. Primjer aksiomatskog sustava. Sigma notacija. Matematička indukcija. Binomni poučak.
  • Jezik logike sudova (2 sata)
    Kratka povijest logike. Osnovni logički veznici – negacija, konjunkcija, disjunkcija, kondicional i bikondicional. Formalni jezik (sintaksa) klasične propozicijske logike. Prioritet logičkih veznika. Odnos formalnog i prirodnog jezika. Primjeri posebnih oblika propozicijskih formula. Konjunktivna i disjunktivna normalna forma.
  • Semantika klasične propozicijske logike (2 sata)
    Interpretacija (valuacija) logičkih veznika i složenih formula. Tablica istinitosti. Diskusija paradoksa materijalnog kondicionala. Logička implikacija i logička ekvivalencija. Svojstva logičkih veznika (asocijativnost, komutativnost, distributivnost, De Morganovi zakoni). Teoreom o normalnoj formi. Prevođenje u normalnu formu. Minimizacija normalne forme (Veitchovom metodom).
  • Predikati i kvantifikacijska logika (2 sata)
    Predikati. Kategoričke tvrdnje. Kvantifikatori. Formalni jezik kvantifikacijske logike. Formalno zapisivanje kategoričkih izjava prirodnog jezika. Doseg kvantifikatora. Interpretacija zatvorene formule (rečenice). Ograničena kvantifikacija. Negiranje kvantifikatora. Primjer primjene kvantifikatora u logičkom programiranju.
  • Dokazi u matematici (2 sata)
    Iskazivanje matematičkih teorema u obliku implikacije. Nužni i dovoljni uvjeti implikacije. Obrat implikacije. Suprotna implikacija. Kontrapozicija teorema. Osnovne vrste matematičkih dokaza: direktni dokaz, dokaz kontrapozicijom, dokaz kontradikcijom, dokaz niza ekvivalentnih tvrdnji i dokaz matematičkom indukcijom. Obaranje (univerzalne) tvrdnje protuprimjerom.
  • Skupovi (2 sata)
    Osnovni pojmovi teorije skupova. Zadavanje skupa. Paradoksi teorije skupova. Doprinos Cantora i Zermela. Skupovi brojeva. Kardinalni broj konačnog skupa. Relacije među skupovima: relacija sadržavanja, jednakost skupova, pravi podskup. Partitivni skup. Operacije sa skupovima: unija, presjek, razlika, komplement, simetrična razlika. Svojstva skupovnih operacija: zakon idempotencije, komutativnost, asocijativnost, distributivnost, De Morganovi zakoni, zakon involucije, zakon identitete. Tablice pripadnosti. Kartezijev produkt skupova. Prikaz elemenata Kartezijevog skupa pomoću točaka u ravnini.
  • Binarne relacije (2 sata)
    Definicija binarne relacije. Primjeri relacija. Graf relacije. Matrica incidencije. Obrat, komplement i dualna relacija zadane relacije. Svojstva binarnih relacija: refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost, irefleksivnost, antisimetričnost, kompletnost, stroga kompletnost. Dokazivanje svojstava zadane binarne relacije. Interpretacija svojstava relacije iz grafa relacije i matrice incidencije. Svojstva relacije ekvivalencije. Primjeri relacija ekvivalencije. Particija skupa i klasa ekvivalencije. Kvocijentni skup. Modularna ekvivalencija (kongruencija). Primjeri primjene modularne ekvivalencije u informatici.
  • Relacija parcijalnog uređaja. Funkcije kao relacije (2 sata)
    Svojstva relacije parcijalnog uređaja. Provjera svojstava relacije parcijalnog uređaja. Najveći i najmanji element u parcijalno uređenom skupu. Teorem o jedinstvenosti najvećeg i najmanjeg elementa. Linearno uređen skup ili lanac. Relacija dobrog uređaja. Uvođenje pojma funkcije pomoću binarne relacije. Konstantna funkcija. Injekcija. Surjekcija. Bijekcija. Inverzna funkcija. Ekvipotentni skupovi. Kardinalni broj skupa. Konačni i beskonačni skupovi. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi. Primjeri dokaza ekvipotentnosti beskonačnih skupova. Hipoteza kontinuuma.
  • Definicija matrice, specijalne vrste matrica. Operacije s matricama (2 sata)
    Motivacija za uvođenjem matrica. Primjeri primjene matrica u računalnoj grafici. Definicija matrice. Format matrice. Primjeri matrica. Jednakost matrica. Posebne vrste matrica: kvadratna, dijagonalna, gornjetrokutasta, donjetrokutasta, jedinična, nulmatrica, jednoredna, jednostupčana, simetrična i antisimetrična matrica. Operacije s matricama: transponiranje matrica, zbrajanje matrica, množenje matrice realnim brojem. Aditivna grupa matrica. Svojstva množenja matrica realnim brojem. Skalarni produkt uređenih n-torki. Množenje ulančanih matrica. Svojstva množenja matrica. Definicija inverzne matrice. Određivanje inverzne matrice matrica reda 2 i 3. Motivacija za uvođenje determinanti.
  • Determinante. Svojstva determinanti (2 sata)
    Pojam permutacije skupa. Pojam determinante. Računanje determinanti drugog i trećeg reda po definiciji. Sarrusovo pravilo za računanje determinante matrice trećeg reda. Svojstva determinanti. Binet-Cauchyjev teorem. Računanje determinante svođenjem na determinantu trokutaste matrice.
  • Laplaceov razvoj determinante. Inverzna matrica. Matrične jednadžbe (2 sata)
    Regularna i singularna matrica. Pojam minore matrice. Algebarski komplement (kofaktor). Izvod formule za Laplaceov razvoj determinate. Definicija inverzne matrice. Primjena algebarskih komplemenata za određivanje inverza regularnih matrica reda 2 i 3. Svojstva inverzne matrice. Matrične jednadžbe. Rješavanje matričnih jednadžbi oblika AX=B i XA=B. Jednažba AX+XB=C. Primjeri rješavanja matričnih jednadžbi.
  • Sustav m linearnih jednadžbi s n nepoznanica (2 sata)
    Pojam linearne jednadžbe s n nepoznanica. Definiranje sustava m linearnih jednadžbi s n nepoznanica. Uvođenje pojmova: određen, neodređen i kontradiktoran sustav. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice: postupak i primjeri. Rješavanje sustava jednadžbi pomoću determinanti. Cramerovo pravilo o rješenjima sustava linearnih jednadžbi. Primjeri određenih, neodređenih i kontradiktornih sustava n jednadžbi s n nepoznanica riješenih pomoću Cramerovog postupka.
  • Gaussov postupak (2 sata)
    Pojam ekvivalentnih sustava linearnih jednadžbi. Elementarne transformacije sustava jednadžbi. Opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Posebno (partikularno) rješenje sustava linearnih jednadžbi. Bazično rješenje sustava linearnih jednadžbi. Tipični primjeri zadataka rješavanja sustava linearnih jednadžbi pomoću Gaussovog postupka. Uspoređivanje triju obrađenih metoda rješavanja sustava i njihove efikasnosti u pojedinim slučajevima. Određivanje inverzne matrice pomoću Gaussovog postupka.
  • Rang matrice. Homogeni sustav linearnih jednadžbi (2 sata)
    Definicija ranga matrice. Određivanje ranga matrice po definiciji. Određivanje ranga matrice upotrebom elementarnih transformacija na recima i stupcima. Kronecker-Capellijev teorem o konzistentnosti sustava jednadžbi i njegov dokaz. Homogeni sustav linearnih jednadžbi. Roucheov teorem. Veza Roucheovog teorema i Kronecker-Capellijevog teorema.
  • Sustavi linearnih nejednadžbi (2 sata)
    Ponavljanje: rješavanje linearna i kvadratna nejednadžbe jedne varijable. Uvođenje pojma linearne nejednadžbe više varijabli. Sustav linearnih nejednadžbi s dvjema varijablama. Grafičko rješavanje sustava linearnih nejednadžbi s dvjema varijablama. Opće rješenje sustava linearnih nejednadžbi. Elementarne transformacije sustava linearnih nejednadžbi. Pridruživanje ekvivalentnog sustava linearnih jednadžbi sustavu linearnih nejednadžbi uvođenjem dopunskih varijabli. Interpretacija bazičnih rješenja pripadnog sustava linearnih jednadžbi. Rješivost sustava linearnih nejednadžbi.
Sadržaj seminara/vježbi
Ishodi učenja kolegija
  • Opisati osnovne karakteristike, vrste i svrhe matematičkih modela u znanosti te ograničenja u modeliranju.
  • Analizirati odnose i operacije među skupovima.
  • Analizirati matematičke tvrdnje pomoću klasične logike sudova.
  • Analizirati i formalno zapisati matematičke tvrdnje pomoću kvantifikacijske logike.
  • Objasniti strukturu izlaganja matematičke teorije i razlikovati uobičajene vrste matematičkog dokaza.
  • Definirati binarne relacije i njihova istaknuta svojstva pomoću kvantifikacijskih formula.
  • Prezentirati osnovne koncepte i teoreme matričnog računa.
  • Primijeniti matrični račun u rješavanju standardnih matematičkih problema.
  • Primijeniti matrični račun u rješavanju problema u području primjene.
  • Dokazati osnovne teoreme o rješivosti sustava linearnih jednadžbi i nejednadžbi.
  • Riješiti sustav linearnih jednadžbi i nejednadžbi korištenjem odgovarajuće metode.
  • Primijeniti uređajne relacije i relacije ekvivalencije u rješavanju problema iz područja informacijskih znanosti.
  • Modelirati realni problem pomoću sustava linearnih jednadžbi i nejednadžbi.
  • Koristiti matematičku literaturu različitih izvora, barem jedan alat za obradu matematičkog teksta te sustav za e-učenje uvažavajući specifičnosti matematike kao struke
Ishodi učenja programa
  • razumjeti stanje i trendove razvoja suvremenih informacijskih i komunikacijskih tehnologija (ICT), razumjeti njihov utjecaj na pojedinca, organizaciju i društvo te procijeniti njihovu primjenjivost u zadanom kontekstu
  • razumjeti i primijeniti ključne aspekte informacijske tehnologije (programiranje, algoritmi, strukture podataka, baze podataka i znanja
  • razumjeti i primijeniti suvremene tehničke koncepte i prakse u informacijskim tehnologijama (arhitektura računala, operacijski sustavi, mreže računala)
  • razumjeti i primijeniti matematičke metode, modele i tehnike primjerene rješavanju problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava
  • razumjeti bitne čimbenike koji utječu na poslovanje organizacije i pojedinaca te primijeniti osnovne metode i koncepte planiranja, upravljanja i obračuna poslovanja
  • analizirati stanje, identificirati prilike i definirati probleme s kojima se susreću organizacije i pojedinci u primjeni ICT, te formulirati rješenja uz primjenu ICT
  • razumjeti osnovna vertikalna područja primjene ICT (industrija, zdravstvo, promet, turizam, država i sl.), te horizontalne aplikacije (uredski sustavi, DSS, CRM, ERP, DMS i sl.)
  • razumjeti i primijeniti suvremene metodološke pristupe razvoja organizacijskih i informacijskih sustava, te oblikovanja organizacije i organizacijske strukture
  • razumjeti suvremene organizacijske koncepte i upravljati organizacijskom kulturom
  • modelirati poslovne procese i podatke u organizacijama i primijeniti modele u razvoju informacijskih i poslovnih sustava
  • razumjeti i primijeniti metode, tehnike razvoja informacijskih i programskih sustava u suvremenim razvojnim okolinama
  • razumjeti i primijeniti procese, metode i tehnologije upravljanja IT uslugama i resursima te podrške i pružanja različitih vrsta usluga vezanih uz ICT
  • razumjeti i primijeniti etička načela, zakonsku regulativu i norme koje se primjenjuju u struci
  • razumjeti osnovna načela i metode upravljanja organizacijom i uspješno raditi u timu
  • uspješno komunicirati s klijentima, korisnicima i kolegama na verbalan i pisani način uz primjenu odgovarajuće terminologije uključujući i sposobnost komunikacije o struci na stranom jeziku
  • pratiti stručnu literaturu na hrvatskom i stranom jeziku, pripremiti i samostalno održati prezentacije na hrvatskom i stranom jeziku stručnoj i općoj publici, te kritičku evaluaciju prezentirane stručne teme
  • razumjeti i primijeniti vještine učenja potrebne za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja na diplomskom studiju.
  • razumjeti i primijeniti osnovne principe planiranja i razvoja karijere u struci i vlastitih poduzetničkih poduhvata
Osnovna literatura
  • Divjak B., Hunjak T., Matematika za informatičare, TIVA - FOI, Varaždin, 2004.
  • Divjak B., Hunjak T., Ostroški M., Zbirka zadataka iz matematike, TIVA - FOI, Varaždin, 2008.
Dopunska literatura
  • Anton H., Rorres C., Elementary linear algebra, Application version, John Wiley & Sons, 8th edition, Hoboken, New Jersey, 2000.
  • Rosen K.H., Discrete Mathematics and its Applications, McGraw Hill, 5th edition, New York, 2003.
Slični kolegiji
Redoviti studenti Izvanredni studenti
izvanredni rok
Datum: 16.04.2024.
Vrijeme: 16:00
Opis: Na Fakultetu
U kalendaru ispod se nalaze konzultacije predmetnih nastavnika, no za detalje o konzultacijama možete provjeriti na profilu pojedinog predmetnog nastavnika.
2024 © Fakultet organizacije i informatike, Centar za razvoj programskih proizvoda