FOI nastava
FOI logo

Lista kolegija iz:

ak.god:
2018/2019
semestar:
1. semestar

2018/2019

6ECTSa

Stručni

PITUP Križevci v1.2

Program Obavezan
PITUP PITUP Da
1. semestar
1. nastavna godina

Matematika npp:46644

Engleski naziv

Mathematics

Katedra

Katedra za kvantitativne metode

Cilj kolegija

Cilj predmeta

Nastava

Predavanje
30sati
Seminar
30sati

Sadržaj predavanja

  • Matematički modeli i struktura matematike
    Model kao zamjena za neki realni objekt ili pojavu. Matematički model sadrži pojavu ili proces iz realnog svijeta i apstraktnu matematičku strukturu. Svrha matematičkih modela: prezentiranje informacija u što razumljivijem obliku, jednostavnije računanje, predviđanje. Matematičko modeliranje. Podjela matematičkih modela. Izgradnja matematičke teorije. Matematički pojmovi: osnovni i izvedeni. Dokazivanje teorema: indirektni i direktni dokaz. Deduktivna metoda. Primjeri aksiomatizacije geometrije i algebre.
  • Sudovi i operacije među njima
    Uvod u matematičku logiku. Uvođenje pojma sud. Operacije sa sudovima: negacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija. Svojstva osnovnih operacija algebre sudova. Tablice istinitosti za pojedine operacije. Veza implikacije sa: obratom teorema, suprotnim teoremom i obratom suprotnog teorema. Dokazi u matematici: direktni dokaz, niz ekvivalentnih tvrdnji, dokaz po kontrapoziciji, dokaz protuprimjerom (da tvrdnja nije istinita), matematička indukcija. Peanovi aksiomi. Upotreba sigma notacije.
  • Formule algebre sudova
    Formula algebre sudova. Posebne formule algebre sudova: tautologija i kontradikcija. Poznate tautologije deduktivnog zaključivanja: modus ponens, modus tolens, hipotetički silogizam, disjunktivni silogizam, dodavanje, pojednostavljivanje,. Izrada semantičkih tablica za formule algebre sudova. Definiranje funkcije algebre sudova u skladu s općim pojmom funkcije.
  • Normalne forme i minimizacija
    Određivanje bazičnih konjunkcija i bazičnih disjunkcija. Određivanje formule za funkciju zadanu semantičkom tablicom pomoću disjunktivne i konjunktivne normalne forme. Minimizacija funkcije: algebarski (primjenom svojstava algebre sudova) i grafički (Vejčovom metodom, Karnoughov graf). Uvođenje operacija NOR i NAND. Primjena normalnih formi i minimizacije na kreiranje logičkog sklopa za danu funkciju.
  • Predikati i kvantifikatori
    Uvođenje pojma predikat kao poopćenje pojma sud. Univerzum razmatranja za zadani predikat. Zapisivanje predikata pomoću tablice (matrice predikata). Uvođenje univerzalnog i egzistencijalnog kvantifikatora. Određivanje veze između kvantifikatora i logičkih operacija. Negacija kvantifikatora. Sudovi s više kvantifikatora. Važnost redosljeda kvantifikatora.
  • Skupovi
    Zadavanje skupa: nabrajanjem elemenata, definiranjem svojstva elemenata koja određuju pripadnost skupu pomoću predikata. Paradoksi teorije skupova. Doprinos Cantora i Zermela. Skupovi brojeva. Relacije među skupovima: relacija sadržavanja, jednakost skupova, pravi podskup. Partitivni skup. Operacije sa skupovima: unija, presjek, razlika, komplement, simetrična razlika. Svojstva skupovnih operacija: zakon idempotencije, komutativnost, asocijativnost, distributivnost, De Morganovi zakoni, zakon involucije, zakon identitete. Primjena tablice pripadnosti na dokazivanje. Kartezijev produkt skupova. Prikaz elemenata Kartezijevog skupa pomoću točaka u ravnini.
  • Binarna relacija
    Definiranje binarne relacije. Primjeri relacija (diskretni i kontinuirani slučajevi). Prikazivanje relacije grafički pomoću čvorova i lukova. Matrica incidencije. Određivanje relacije obrata, relacije komplementa i dualne relacije za zadanu relaciju. Svojstva binarnih relacija: refleksivnost, simetričnost, tranzitivnost, irefleksivnost, antisimetričnost, kompletnost, stroga kompletnost... Posebne uređajne relacije. Svojstva relacije ekvivalencije. Primjeri relacije ekvivalencije: modularna ekvivalencija, jednakost na skupu, paralelnost na skupu pravaca ravnive, sukladnost trokuta na skupu svih trokuta. Dokazivanje da li je relacija relacija ekvivalencije. Upotreba relacije ekvivalencije. Povezivanje pojmova klasa ekvivalencije i kvocijentni skup s relacijom ekvivalencije.
  • Relacija parcijalnog uređaja. Funkcije kao relacije
    Svojstva relacije parcijalnog uređaja. Dokazivanje da li je relacija relacija parcijalnog uređaja. Najveći i najmanji element u parcijalno uređenom skupu. Teorem o jedinstvenosti najvećeg elementa. Linearno uređen skup ili lanac. Relacija dobrog uređaja. Grafička interpretacija svojstava binarnih relacija. Interpretacija svojstava u matrici incidencije. Uvođenje pojma funkcija preko relacije. Konstantna funkcija. Injekcija. Surjekcija. Bijekcija. Inverzna funkcija. Važnost bijekcije kod inverzne funkcije i jednakobrojnosti skupova. Grafički prikaz funkcija. Permutacija. Cjelobrojene funkcije (floor, ceilling), njihovi grafovi i svojstva. Uvođenje pojma ekvivalentnih skupova preko bijektivnosti. Konačni i beskonačni skupovi. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi. Cohenov doprinos hipotezi kontinuuma. Primjeri bijekcija koje povezuju ekvivalentne skupove.
  • Definicija matrice, specijalne vrste matrica. Operacije s matricama
    Motivacija za uvođenjem matrica. Primjeri primjena matrica u kompjutorskoj grafici. Definicija matrice. Format matrice. Primjeri matrica. Jednakost matrica. Specijalne vrste matrica: kvadratna, dijagonalna, gornjetrokutasta, donjetrokutasta, jedinična, jednoredna, jednostupčana, nulmatrica. Operacije s matricama: transponiranje matrica, zbrajanje matrica, množenje matrice realnim brojem. Definicija i svojstva simetričnih i antisimetričnih matrica. Svojstva množenja matrica realnim brojem. Skup matrica tipa (m,n) uz operacije zbrajanja matrica i množenja matrica realnim brojem je linearni ili vektroski prostor. Skalarni produkt uređenih n-torki. Množenje ulančanih matrica. Svojstva množenja matrica. Inverzna matrica. Množenje matrica nije komutativno. Inverzna matrica kvadratne matrice reda 2. Motivacija za uvođenje determinanti.
  • Determinante. Svojstva determinanti
    Definiranje pojma determinanta za kvadratne matrice. Deduciranje formula za računanje determinanti drugog i trećeg reda. Sarrusovo pravilo za računanje matrica trećeg reda. Svojstva determinanti: transponirane matrice, jedinične matrice, gornjetrokutaste matrice, matrice pomnožene realnim brojem, matrice potencirane prirodnim brojem, matrice koja ima dva jednaka stupca (reda), matrice kojoj su elementi nekog reda (stupca) jednaki nuli... Binet-Cauchyjev teorem o determinanti produkta dviju matrica. Računanje determinanti upotrebom svojstava determinanti tako da se svodi na determinantu trokutaste matrice.
  • Laplaceov razvoj determinante. Inverzna matrica. Matrične jednadžbe
    Regularna i singularna matrica. Uvođenje pojma minora matrice za determinantu submatrice zadane matrice. Definiranje pojma algebarski komplement koji je potreban za razvoj determinante po i-tom redu ili j-tom stupcu. Izvod formule za Laplaceov razvoj determinante. Primjena algebarskih komplemenata za određivanje inverza regulane matrice. Svojstva inverzne matrice. Primjeri traženja inverznih matrica. Rješavanje matričnih jednadžbi oblika AX=B, XA=B, gdje je A regularna matrica. Jednažba AX+XB=C. Primjeri rješavanja matričnih jednadžbi.
  • Sustav m linearnih jednadžbi s n nepoznanica
    Uvođenje pojma linearna jednadžba s n nepoznanica. Definiranje sustava m linearnih jednadžbi s n nepoznanica. Uvođenje pojmova: određen, neodređen i kontradiktoran sustav. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice: postupak i primjeri. Rješavanje sustava jednadžbi pomoću determinanti. Cramerovo pravilo o rješenjima sustava linearnih jednadžbi. Primjeri određenih, neodređenih i kontradiktornih sustava od n jednadžbi i n nepozanica riješeni pomoću Cramerovog postupka.
  • Gaussov postupak
    Uvođenje pojma ekvivalentni sustavi linearnih jednadžbi. Elementarne transformacije sustava jednadžbi. Primjena elementarnih transformacija na recima za dobivanje ekvivalentnog sustava zadanom sustavu. Opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Posebno (partikularno) rješenje sustava linearnih jednadžbi. Bazično rješenje sustava linearnih jednadžbi. Tipični primjeri zadataka traženja rješenja sustava pomoću Gaussovog postupka. Uspoređivanje svih metoda kod rješavanja sustava i njihove efikasnosti u pojedinim slučajevima. Određivanje inverzne matrice pomoću Gaussovog postupka.
  • Rang matrice. Homogeni sustav linearnih jednadžbi
    Definiranje pojma ranag matrice. Određivanje ranga matrice po definiciji. Određivanje ranga matrice upotrebom elementarnih transformacija na recima i stupcima. Kronecker-Capellijev teorem o konzistentnosti sustava jednadžbi i njegov dokaz. Homogeni sustav linearnih jednadžbi. Trivijalno rješenje homogenog sustava. Roucheov teorem kao posljedica primjene Kronecker-Capellijevog teorema na homogeni sustav od n jednadžbi s n nepoznanica.
  • Sustavi linearnih nejednadžbi. Završni sat.
    Ponavljanje: linearna nejednadžba, kvadratna nejednadžba. Uvođenje pojma linearna nejednadžba s više varijabli. Sustav linearnih nejednadžbi s dvije varijable. Grafičko rješavanje sustava linearnih nejednadžbi s dvije varijable. Završani sat i evaluacija

Osnovna literatura

  • Divjak, B.; Hunjak, T. Matematika za informatičare. TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2004 – sveučilišni udžbenik
  • Divjak, B.; Hunjak, T. Zbirka zadataka iz matematike. TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2002. – fakultetska zbirka

Dopunska literatura

  • Goodaire, C.G.; Parmenter, M.M. Discrete Mathematics with Graph Theory. Prentice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1998.
  • Graham, R.L.; Knuth, D.E.; Patashnik, O. Concrete Mathematics. Addison- Wesley Publishing Company, Reading, 1998.
  • Stanat, D.F.; McAllister, D.F. Discrete Mathematics in Computer science. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1977.
  • Chiang A.C. Osnovne metode matematičke ekonomije. hrvatsko izdanje, MATE d.o.o., Zagreb, 1994.
Nastavnik Oblik nastave Tjedana Sati tjedno Grupa
Jembrek Darko Seminar 3 5 1
Munđar Dušan Predavanje 3 5 1
redovni rok
Datum: 27.08.2019.
Opis: u 18:00
Prijava do: 24.08.2019. 23:59
Odjava do: 26.08.2019. 11:59
redovni rok
Datum: 10.09.2019.
Opis: u 18:00
Prijava do: 07.09.2019. 23:59
Odjava do: 09.09.2019. 11:59

Matematika - Redovni studenti

Studij: PITUP
Akademska godina: 2018/2019

Praćenje rada studenata

Elementi praćenjaBodova
Kolokviji75
Kratke provjere (Moodle)15
Aktivnost10
ZBROJ100


Bodovna skala ocjena

OdDoOcjena
0 49 nedovoljan (1)
50 60 dovoljan (2)
61 75 dobar (3)
76 90 vrlo dobar (4)
91 100 odličan (5)


Uvjet za stjecanje pozitivne ocjene putem kontinuiranog praćenja je prikupljenih 50 ili više bodova pri čemu na svakom kolokviju treba imati barem 3 boda.

Uvjeti za izvršenje nastavnih obaveza i pristup polaganju ispita (uvjeti za potpis) studenata koji ne steknu ocjenu putem kontinuiranog praćenja su prikupljenih 20 bodova, ne više od 3 izostanka s nastave (predavanja i seminara).


Kolokviji

Naziv / Tjedan 1234567891011121314151617 1. razdoblje
udio (%)
2. razdoblje
udio (%)
3. razdoblje
udio (%)
Trajanje Pismeni Usmeni
Kolokvij 1 + 100.0 75 +
Kolokvij 2 + 30.0 70.0 75 +
Kolokvij 3 + 20.0 20.0 60.0 75 +
Kratke provjere + + +


Opis elemenata praćenja

Elementi praćenja Bodovi Uvjet Opis Nadoknada
Granica Opis Rok
Kratke provjere (Moodle) 15 Predviđene su tri kratke provjere znanja koje se provode u sustavu za eučenje (Moodle). Slijede u tjednima prije kolokvija te obuhvaćaju teoriju (studenti trebaju odgovarati na pitanja i/ili odabrati točan odgovor između više ponuđenih) i jednostavnije zadatke. Svaka kratka provjera nosi 5 bodova. Nadoknada nije predviđena.
Aktivnost 10 Bodovi iz aktivnosti ostvaruju se rješavanjem zadaća i aktivnim sudjelovanjem na nastavi. Na predavanjima i seminarima će se nasumično obavljati provjera prisustvovanja. Nadoknada nije predviđena.
1. kolokvij 25 Kolokvij se sastoji od 4-5 zadataka. Zadaci su kombinirani: teorijski dio i računski/praktični dio koji je povezan s teorijom pojedine cjeline. Studenti trebaju izračunati/izvesti konačno rješenje. U računskim zadacima traži se teoretsko obrazloženje postupaka i rezultata. Studenti trebaju odgovoriti na pitanja, izvesti formulu i/ili navesti primjere. 3 Nadoknada nije predviđena.
2. kolokvij 25 Kolokvij se sastoji od 4-5 zadataka. Zadaci su kombinirani: teorijski dio i računski/praktični dio koji je povezan s teorijom pojedine cjeline. Studenti trebaju izračunati/izvesti konačno rješenje. U računskim zadacima traži se teoretsko obrazloženje postupaka i rezultata. Studenti trebaju odgovoriti na pitanja, izvesti formulu i/ili navesti primjere. 3 Nadoknada nije predviđena.
3. kolokvij 25 Kolokvij se sastoji od 4-5 zadataka. Zadaci su kombinirani: teorijski dio i računski/praktični dio koji je povezan s teorijom pojedine cjeline. Studenti trebaju izračunati/izvesti konačno rješenje. U računskim zadacima traži se teoretsko obrazloženje postupaka i rezultata. Studenti trebaju odgovoriti na pitanja, izvesti formulu i/ili navesti primjere. 3 Nadoknada nije predviđena.


Matematika - Izvanredni studenti

Studij: PITUP
Akademska godina: 2018/2019

Praćenje rada IZVANREDNIH studenata

 

Prisustvovanje predavanjima i seminarima nije obavezno, ali studenti moraju sudjelovati u e-učenju. Studenti se tijekom prva dva tjedna održavanja nastave iz predmeta trebaju prijaviti u sustav za e-učenje Moodle i pratiti nastavne materijale posredstvom istog.

 

Za izvanredne studente u Varaždinu:

Izvanredni studenti u Varaždinu imaju mogućnost kontinuiranog praćenja. Ukoliko se student odluči za kontinuirano praćenje, obavezan je javiti se na Prijavu za 1. kolokvij.  U tom slučaju, student će se pratiti po modelu praćenja za redovne studente i za njega će vrijediti sva pravila kao i za redovne studente (osim prisustva nastavi).

 

Za izvanredne studente u centrima:

Po završetku ciklusa predavanja, u svakom centru održat će se tri ispitna roka. Svaki ispitni rok iz Matematike sastoji se od pismenog i usmenog dijela. Pismeni ispit ima šest zadataka podijeljenih u dvije skupine po tri zadatka. Pozitivna ocjena na pismenom ispitu dobiva se ako su ispunjeni sljedeći uvjeti.

  1. uvjet: da iz svake skupine zadataka student ima barem 10 bodova,
  2. uvjet: da je suma bodova iz obje skupine barem 30 (od mogućih 60 bodova).

Također, studenti imaju mogućnost rješavanja Kratkih provjera u sustavu za e-učenje. Svaka od tri Kratke provjere nosi maksimalno 5 bodova (ukupno 15 bodova). Studenti koji na pismenom ispitu imaju minimalno 25 bodova uz ispunjen 1. uvjet, a zajedno s pridruženim bodovima iz Kratkih provjera, imaju barem 30 bodova moći će pristupiti usmenom dijelu ispita.

 

Nakon pismenog dijela ispita (na kojem se rješavaju zadaci), slijedi usmeni dio ispita na kojem se odgovara na pitanja iz gradiva predmeta. Ispit će položiti studenti koji su pozitivno ocjenjeni na usmenom dijelu ispita, a konačna se ocjena formira uvažavanjem ocjene pismenog i usmenog dijela ispita. Studenti koji polože pismeni dio ispita, a ne polože usmeni dio ispita, kod sljedećeg izlaska na ispit ponovo moraju pristupiti polaganju pismenog dijela ispita. Bodovi iz Kratkih provjera vrijede kod ponovnih izlazaka na pismeni dio ispita, ali samo do kraja tekuće akademske godine.

 

Prvi ispitni rok u centrima održati će se dva do tri tjedna nakon završetka predavanja. Preostala dva ispitna roka određuju se naknadno. Komisijski ispiti održavaju se isključivo u Varaždinu.



Predavanje Seminar Auditorne vježbe Laboratorijske vježbe Vježbe (jezici, tzk) Ispit Kolokviji Nadoknade Demonstrature
Copyright © 2015 FOI Varaždin. All Rights Reserved. Sva prava pridržana.
Povratak na vrh