FOI Nastava - Matematika

Sadržaj se učitava...

FOI Nastava

apps

mdi-login

Matematika

Matematics
2013/2014

8 ECTSa

Ekonomika poduzetništva 1.0 (EP)

Katedra za kvantitativne metode

1. semestar

Osnovne informacijemdi-information-variant

Izvođači nastavemdi-account-group

Nastavni plan i programmdi-clipboard-text-outline

Model praćenjamdi-human-male-board

Ispitni rokovimdi-clipboard-check-outline

Rasporedmdi-calendar-clock

Konzultacijemdi-account-voice

Izvođenje kolegija

Studij	Studijski program	Semestar	Obavezan
Ekonomika poduzetništva 1.0 (EP)		1	obavezan

Cilj kolegija

Preduvjeti

Kolegij nema definirane preduvjete

Norma kolegija

Predavanja

60 sati

Seminar

30 sati

Nastavnik	Uloga na kolegiju	Oblik nastave	Tjedana	Sati	Grupa
Hunjak Tihomir	Nositelj	Predavanja	15	3	1
Neralić Luka	Nositelj
Horvat Damir	Suradnik	Seminar	15	3	2
Jakuš Marija	Suradnik	Seminar	15	3	2
Žugec Bojan	Suradnik
Žugec Bojan	Suradnik
Brumec Mirela	Suradnik

Sadržaj predavanja

MATEMATIČKI MODELI I STRUKTURA MATEMATIKE. DOKAZI U MATEMATICI
Model kao zamjena za neki realni objekt ili pojavu. Matematički model sadrži pojavu ili proces iz realnog svijeta i apstraktnu matematičku strukturu. Svrha matematičkih modela: prezentiranje informacija u što razumljivijem obliku, jednostavnije računanje, predviđanje. Matematičko modeliranje. Podjela matematičkih modela. Izgradnja matematičke teorije. Matematički pojmovi: osnovni i izvedeni. Dokazivanje teorema: indirektni i direktni dokaz. Deduktivna metoda. Primjeri aksiomatizacije geometrije i algebre. Uvod u matematičku logiku. Uvođenje pojma sud. Operacije sa sudovima: negacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija. Svojstva osnovnih operacija algebre sudova. Tablice istinitosti za pojedine operacije. Veza implikacije sa: obratom teorema, suprotnim teoremom i obratom suprotnog teorema. Dokazi u matematici: direktni dokaz, niz ekvivalentnih tvrdnji, dokaz po kontrapoziciji, dokaz protuprimjerom (da tvrdnja nije istinita), matematička indukcija. Upotreba sigma notacije.
DEFINICIJA MATRICE, SPECIJALNE VRSTE MATRICA. OPERACIJE S MATRICAMA
Motivacija za uvođenjem matrica. Primjeri primjena matrica u kompjutorskoj grafici. Definicija matrice. Format matrice. Primjeri matrica. Jednakost matrica. Specijalne vrste matrica: kvadratna, dijagonalna, gornjetrokutasta, donjetrokutasta, jedinična, jednoredna, jednostupčana, nulmatrica. Operacije s matricama: transponiranje matrica, zbrajanje matrica, množenje matrice realnim brojem. Definicija i svojstva simetričnih i antisimetričnih matrica. Svojstva množenja matrica realnim brojem. Skup matrica tipa (m,n) uz operacije zbrajanja matrica i množenja matrica realnim brojem je linearni ili vektorski prostor. Skalarni produkt uređenih n-torki. Množenje ulančanih matrica. Svojstva množenja matrica. Inverzna matrica. Množenje matrica nije komutativno. Inverzna matrica kvadratne matrice reda 2. Motivacija za uvođenje determinanti.
DETERMINANTE. SVOJSTVA DETERMINANTI
Definiranje pojma determinanta za kvadratne matrice. Deduciranje formula za računanje determinanti drugog i trećeg reda. Sarrusovo pravilo za računanje matrica trećeg reda. Svojstva determinanti: transponirane matrice, jedinične matrice, gornjetrokutaste matrice, matrice pomnožene realnim brojem, matrice potencirane prirodnim brojem, matrice koja ima dva jednaka stupca (reda), matrice kojoj su elementi nekog reda (stupca) jednaki nuli... Binet-Cauchyjev teorem o determinanti produkta dviju matrica. Računanje determinanti upotrebom svojstava determinanti tako da se svodi na determinantu trokutaste matrice.
LAPLACEOV RAZVOJ DETERMINANTE. INVERZNA MATRICA. MATRIČNE JEDNADŽBE
Regularna i singularna matrica. Uvođenje pojma minora matrice za determinantu submatrice zadane matrice. Definiranje pojma algebarski komplement koji je potreban za razvoj determinante po i-tom redu ili j-tom stupcu. Izvod formule za Laplaceov razvoj determinante. Primjena algebarskih komplemenata za određivanje inverza regulane matrice. Svojstva inverzne matrice. Primjeri traženja inverznih matrica. Rješavanje matričnih jednadžbi oblika AX=B, XA=B, gdje je A regularna matrica. Jednažba AX+XB=C. Primjeri rješavanja matričnih jednadžbi.
SUSTAV M LINEARNIH JEDNADŽBI S N NEPOZNANICA
Uvođenje pojma linearna jednadžba s n nepoznanica. Definiranje sustava m linearnih jednadžbi s n nepoznanica. Uvođenje pojmova: određen, neodređen i kontradiktoran sustav. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice: postupak i primjeri. Rješavanje sustava jednadžbi pomoću determinanti. Cramerovo pravilo o rješenjima sustava linearnih jednadžbi. Primjeri određenih, neodređenih i kontradiktornih sustava od n jednadžbi i n nepozanica riješeni pomoću Cramerovog postupka.
GAUSSOV POSTUPAK
Uvođenje pojma ekvivalentni sustavi linearnih jednadžbi. Elementarne transformacije sustava jednadžbi. Primjena elementarnih transformacija na recima za dobivanje ekvivalentnog sustava zadanom sustavu. Opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Posebno (partikularno) rješenje sustava linearnih jednadžbi. Bazično rješenje sustava linearnih jednadžbi. Tipični primjeri zadataka traženja rješenja sustava pomoću Gaussovog postupka. Uspoređivanje svih metoda kod rješavanja sustava i njihove efikasnosti u pojedinim slučajevima. Određivanje inverzne matrice pomoću Gaussovog postupka.
RANG MATRICE. HOMOGENI SUSTAV LINEARNIH JEDNADŽBI
Definiranje pojma ranga matrice. Određivanje ranga matrice po definiciji. Određivanje ranga matrice upotrebom elementarnih transformacija na recima i stupcima. Kronecker-Capellijev teorem o konzistentnosti sustava jednadžbi i njegov dokaz. Homogeni sustav linearnih jednadžbi. Trivijalno rješenje homogenog sustava. Roucheov teorem kao posljedica primjene Kronecker-Capellijevog teorema na homogeni sustav od n jednadžbi s n nepoznanica.
SUSTAVI LINEARNIH NEJEDNADŽBI
Ponavljanje: linearna nejednadžba, kvadratna nejednadžba. Uvođenje pojma linearna nejednadžba s viševarijabli. Sustav linearnih nejednadžbi s dvije varijable. Grafičko rješavanje sustava linearnih nejednadžbi s dvije varijable. Opće rješenje sustava linearnih nejednadžbi. Elementarne transformacije sustava linearnih nejednadžbi. Pridruživanje ekvivalentnog sustava sustavu linearnih nejednadžbi uvođenjem dopunskih varijabli. Uloga bazičnih rješenja pripadnog sustava jednadžbi. Rješivost sustava linearnih nejednadžbi.
REALNE FUNKCIJE REALNE VARIJABLE. DOMENA FUNKCIJE. KOMPOZICIJA. BIJEKCIJA. GRAF FUNKCIJE
Zadavanje funkcija: numerički (pomoću tablice), algebarski (pomoću formule), grafički (pomoću grafa). Klasifikacija realnih funkcija realne varijable: algebarske funkcije i transcedentne. Podjela algebarskih funkcija na racionalne (polinomi, prave racionalne funkcije) i iracionalne. Specijalni slučaj racionalne funkcije homografska funkcija. Podjela transcedentnih funkcija. Određivanje domena realnih funkcija realne varijable: racionalne i iracionalne funkcije, logaritamske funkcije, ciklometrijskih funkcija arkus sinus i arkus kosinus. Uvođenje pojma kompozicija funkcija za dvije zadane funkcije realne varijable. Kompozicija funkcija nema svojstvo komutativnosti. Identično preslikavanje. Specijalne funkcije: injekcija, surjekcija, bijekcija. Bijekcija kao uvjet za postojanje inverzne finkcije. Jednakobrojnost skupova pomoću bijekcije. Računanje inverza funkcije koja je bijekcija. Grafovi međusobno inverznih funkcija su uvijek simetrični s obzirom na pravac y=x. Restrikcija funkcije. Primjeri kvadratne i eksponencijalne funkcije. Graf funkcije. Graf implicitno zadane funkcije. Modeliranje pomoću elementarnih funkcija. Uvod u optimizaciju.
SVOJSTVA REALNIH FUNKCIJA REALNE VARIJABLE. PRIMJERI FUNKCIJA I NJIHOVIH GRAFOVA (PONAVLJANJE)
Definicija nultočke funkcije. Uvođenje pojmova funkcije ograničene odozgo (odozdo), gornja i donja međa funkcije. Određivanje donje i gornje međe za funkciju arctgx. Definicija pada i rasta funkcije. Za funkciju koja raste ili pada na cijelom području definicije uvodi se pojam monotona funkcija. Definicija lokalnog minimuma i maksimuma funkcije. Za vrijednosti funkcije u tim točkama uvode se pojmovi maksimalna i minimalna vrijednost. Za lokalni minimum i maksimum uvodi se pojam lokalni ekstremi. Definicija periodične funkcije. Primjeri periodičnih funkcija (trigonometrijske funkcije). Definicija parne i neparne funkcije. Primjeri parnih funkcija: potencije s parnim eksponentima, kosinus. Primjeri neparnih funkcija: potencije s neparnim eksponentima, sinus, tangens, kotangens. Graf parne i neparne funkcije. Polinomi: konstantna funkcija, Afina funkcija (graf je pravac), kvadratna funkcija (graf je parabola). Racionalne funkcije: istostranična hiperbola. Iracionalne funkcije: drugi korijen iz x. Eksponencijalne funkcije s bazom većom od 1 i bazom između 0 i 1. Svojstva eksponencijalnih funkcija. Primjer krivulje učenja i logističke krivulje. Uvođenje logaritamske funkcije kao inverzne funkcije eksponencijalne funkcije. Grafovi logaritamskih funkcija s bazom većom od 1 i bazom između 0 i 1. Svojstva logaritama. Uvođenje prirodnog logaritma kao logaritma po bazi e. Trigonometrijske funkcije: sinus, kosinus, tangens, kotangens. Relacije među trigonometrijskim funkcijama. Uvođenje ciklometrijskih funkcija kao inverznih funkcija trigonometrijskim funkcijama.
NIZOVI REALNIH BROJEVA, NJIHOVA SVOJSTVA I LIMES
Definiranje niza realnih brojeva kao funkcije sa skupa prirodnih brojeva na skup realnih brojeva. Zadavanje nizova: nabrajanjem prvih članova, općim članom niza, rekurzivnom formulom. Primjer Fibonaccijevog niza. Definicije aritmetičkog i geometrijskog niza. Karakterizacija aritmetičkog niza. Karakterizacija geometrijskog niza. Suma prvih n članova aritmetičkog niza. Suma prvih n članova geometrijskog niza. Primjena geometrijskog niza na računanje konačne vrijednosti n periodskih uplata visine R koje se uplaćuju početkom svake godine (prenumerando). Definiranje pojmova rastući, padajući i monoton niz analogno odgovarajućim pojmovima rastuće, padajuće i monotone funkcije. Definicija niza omeđenog odozgo i odozdo. Primjeri omeđenih nizova. Definicije gomilišta niza i granične vrijednosti niza ili limesa. Uvođenje pojmova konvergentan niz za niz koji ima limes. Karakterizacija limesa niza. Bolzano-Weierstrassov teorem da svaki omeđen niz ima bar jedno gomilište. Teorem da svaki monoton i omeđen niz ima limes. Veza između limesa i gomilišta. Svojstva limesa niza: limes sume, limes produkta, limes kvocijenta, limes konstante, limes niza pomnoženog realnim brojem. Dokazi nekih od nabrojenih svojstava. Važniji limesi nizova i njihovi dokazi. Računanje limesa upotrebom svojstava limesa i važnijih limesa. Definicija k-te parcijalne sume nizate uvođenje pojma niz parcijalnih suma. Definiranje reda kao uređenog para niza i njemu pripadnog niza parcijalnih suma. Definiranje konvergencije reda preko konvergencije niza parcijalnih suma. Nužan uvjet konvergencije reda. Dokaz nužnog uvjeta. Primjer da nužan uvjet nije ujedno i dovoljan. Definiranje geometrijskog reda kao reda kojemu je pripadni niz geometrijski. Suma geometrijskog reda. Primjena geometrijskog reda na računanje beskonačne rente. Računanje sume nekih geometrijskih redova.
LIMES FUNKCIJE I NEPREKIDNOST FUNKCIJE
Motivacija za uvođenjem limesa funkcije (tri karakteristična motivirajuća primjera). Cauchyjeva definicija neprekidnosti funkcije. Heineova definicija limesa funkcije pomoću nizova. Definiranje pojmova limes slijeva i limes zdesna. Teorem da funkcija ima limes u točki ako i samo ako je limes slijeva jednak limesu zdesna u toj točki. Sve elementarne funkcije imaju limes u svakoj točki u kojoj su definirane. Limes u beskonačnosti. Svojstva limesa funkcija: limes sume, limes produkta, limes kvocijenta. Dokazi nekih od nabrojenih svojstava. Važniji limesi funkcija i dokazi. Neodređeni limesi. Neprekidnost funkcije. Definicija neprekidne funkcije na zatvorenom intervalu. Teorem o međuvrijednosti i njegove osnovne primjene. Teorem o ekstremima funkcije na zatvorenom intervalu.
DERIVACIJA FUNKCIJE. TABLICA DERIVACIJA. DIFERENCIJAL
Razvoj diferencijalnog računa kroz povijest. Motivacija za uvođenjem diferencijalnog računa. Newtonov i Leibnizov pristup diferencijalnom računu. Problem tangente na način koji je doveo Leibniza do pojma derivacije. Geometrijska interpretacija derivacije funkcije u točki kao nagib tangente u zadanoj točki. Definicija derivacije funkcije u točki. Nužan uvjet za postojanje derivacije u točki je da je ona neprekidna u toj točki. Pravila za deriviranje: derivacija zbroja funkcija, derivacija produkta i kvocijenta funkcija, derivacija konstantne funkcije. Dokazi pravila za deriviranje.Deriviranje identitete, kvadratne funkcije, potencije, iracionalne funkcije, eksponencijalne i logaritamske funkcije, trigonometrijskih funkcija. Primjeri derivacija. Derivacija kompozicije funkcije. Primjer derivacije funkcije koja je kompozicija triju funkcija. Derivacija inverzne funkcije. Primjer derivacije funkcije arkus sinus po pravilu za deriviranje inverzne funkcije. Derivacija implicitno zadane funkcije i osnovni primjeri primjene tog pravila. Logaritamska derivacija i osnovni primjeri primjene tog pravila. Tablica derivacija. Induktivno uvođenje pojma derivacije višeg reda. Diferencijal funkcije i njegovo geometrijsko značenje. Primjena derivacija (L'Hospitalovo pravilo) na računanje limesa neodređenih oblika.
PRIMJENA DERIVACIJA
Uvođenje pojmova tangenta i normala funkcijeu danoj točki. Računanje tangente i normale zadane krivulje u zadanoj točki. Definiranje kuta između krivuljakao kuta pod kojim se sijeku njihove tangente u točki presjeka. Određivanje kuta između zadanih dviju krivulja. Karakterizacija pada i rasta funkcije na intervalu pomoću prve derivacije funkcije. Određivanje intervala monotonosti zadane funkcije. Nužan uvjet za postojanje lokalnih ekstrema. Karakteristični primjeri. Uvođenje pojma stacionarna točka za točku za koju je ispunjen nužan uvjet. Primjena druge derivacije na određivanje lokalnih ekstrema.
TOK FUNKCIJE. TEOREMI O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI
Uvođenje pojmova konveksna, konkavna funkcija i točaka infleksije. Nužan uvjet da je neka točka infleksije. Određivanje ekstremnih točaka i točaka infleksije. Opći teorem o određivanju ekstrema i točaka infleksije pomoću derivacija višeg reda. Uvođenje pojma asimptota funkcije. Vrste asimptota: vertikalna, kosa i horizontalna. Određivanje asimptota pomoću limesa. Karakteristični primjeri računanja asimptota funkcije. Tok funkcije: nultočke, domena, svojstva (parnost, neparnost...), ekstremi, pad i rast, konveksnost i konkavnost, točka infleksije. Skiciranje grafa funkcije upotrebom elementa analize funkcije. Četiri teorema o srednjoj vrijednosti: Fermatov teorem, Lagrangeov teorem, Rolleov teorem i Cauchyjev teorem.
NEODREĐENI INTEGRALI
Definicija primitivne funkcije. Uvođenje pojma neodređeni integral kao skup svih primitivnih funkcija dane funkcije. Tablica neodređenih integrala. Svojstva neodređenog integrala. Primjeri upotrebe tablice integriranja i svojstava (neposredno integriranje). Metode integriranja: neposredno integriranje, metoda supstitucije, metoda parcijalne integracije. Primjeri primjene metode supstitucije. Primjeri primjene metode parcijalne integracije na računanje integrala funkcija oblika x2e3xi x5lnx.
INTEGRIRANJE RACIONALNIH I TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Integriranje nekih racionalnih funkcija rastavljanjem podintegralne funkcije na parcijalne razlomke. Integriranje trigonometrijskih funkcija. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u) gdje je R racionalna funkcija, a u=tgx. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u,v), gdje je R racionalna funkcija, a u= cos2x i v=sin2x. Integriranje funkcije oblika f(x)=R(u,v), gdje je R racionalna funkcija, a u=cosx i v=sinx. Integriranje funkcije oblika sinmxcosnx. Primjeri računanja integrala gore navedenim metodama.
PROBLEM POVRŠINE I ODREĐENI INTEGRAL
Određivanje površine koju omeđena neprekidna funkcija na zadanom intervalu zatvara s osi x. Dijeljenje intervala na n dijelova. Postavljanje dva pravokutnika nad svakim podintervalom tako da jedan leži ispod grafa, a drugi ga premašuje. Uvođenje minimuma i maksimuma funkcije na svakom podintervalu kao visine pripadnog pravokutnika. Uvođenje donje i gornje integralne sume kao sume površina svih pravokutnika ispod grafa, odnosno iznad grafa funkcije. Definicija određenog integrala kao zajedničkog limesa gornje i donje integralne sume.
NEWTON-LEIBNIZOVA FORMULA. RAČUNANJE POVRŠINA POMOĆU ODREĐENOG INTEGRALA
Newton-Leibnizova formula veza između određenog integrala i primitivne funkcije podintegralne funkcije. Svojstva određenog integrala. Računanje određenih integrala upotrebom svojstava i Newton-Leibnizove formule. Proširivanje pojma određeni integral na negativne funkcije. Integral negativne funkcije je negativna vrijednost površine krivocrtnog trapeza. Računanje površine ravninskog lika na intervalu na kojem funkcija mijenja predznak. Primjeri određivanja površine lika omeđenog krivuljama y=x2 i y=x3 te određivanje površine lika ispod krivulje y=x2-2x na zadanom intervalu.
FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI
Definicija funkcije više varijabli. Realna funkcija više varijabli. Primjeri funkcija dviju varijabli (npr., površina pravokutnika, volumen kvadra). Domena realne funkcije više varijabli. Određivanje domene realne funkcije dvije realne varijable. Geometrijska interpretacija funkcija. Graf realne funkcije dvije realne varijable. Prikazivanje realne funkcije dvije realne varijable nivo-linijama. Nivo-plohe realne funkcije tri realne varijable.
PARCIJALNE DERIVACIJE. OPTIMIZACIJA. UVJETNI EKSTREMI
Limes funkcije više varijabli (Cauchyeva i Heineova definicija). Ekvivalencija Cauchyeve i Heineove definicije limesa funkcije više varijabli. Definicija neprekidnosti funkcije više varijabli. Definicija parcijalnih derivacija realne funkcije više realnih varijabli. Pravila parcijalnog deriviranja. Definicija derivabilnosti realne funkcije više varijabli. Parcijalne derivacije višeg reda. Schwarzow teorem. Definicija lokalnog minimuma i lokalnog maksimuma realne funkcije više varijabli. Definicija stacionarne ili kritične točke. Nužni i dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema. Sedlasta točka. Postupak traženja lokalnih ekstrema. Ekstremi neprekidne funkcije na kompaktu. Definicija vezanog ili uvjetnog ekstrema realne funkcije više varijabli. Lagrangeova funkcija. Interpretacija problema, Lagrangeove funkcije i rezultata. Traženje uvjetnih ekstrema. Primjeri praktičnih problema koji se rješavaju pomoću uvjetnih ekstrema.

Sadržaj seminara/vježbi

Ishodi učenja kolegija

Ishodi učenja programa

Osnovna literatura

Divjak B., Hunjak T., Matematika za informatičare, TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2004 sveučilišni udžbenik
Divjak B., Hunjak T., Zbirka zadataka iz matematike, TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2002. fakultetska zbirka

Dopunska literatura

Chiang A. C., Osnovne metode matematičke ekonomije, hrvatsko izdanje, MATE d.o.o. Zagreb, 1994.
Lončar I., Matematičke metode za informatičare I, TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2001
Lončar I., Matematičke metode za informatičare II, TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2001
Sallas, Hille, Etgen, Calculus one and several variables, Wiley & Son, 1999.

Slični kolegiji

Redoviti studenti

Izvanredni studenti

U kalendaru ispod se nalaze konzultacije predmetnih nastavnika, no za detalje o konzultacijama možete provjeriti na profilu pojedinog predmetnog nastavnika.