FOI Nastava - Matematičke metode za informatičare

Sadržaj se učitava...

FOI Nastava

apps

mdi-login

Matematičke metode za informatičare

Mathematical Methods for Informatics
2022/2023

7 ECTSa

Informacijski i poslovni sustavi 1.2 (IPS)

Katedra za kvantitativne metode

3. semestar

Osnovne informacijemdi-information-variant

Izvođači nastavemdi-account-group

Nastavni plan i programmdi-clipboard-text-outline

Model praćenjamdi-human-male-board

Ispitni rokovimdi-clipboard-check-outline

Rasporedmdi-calendar-clock

Konzultacijemdi-account-voice

Izvođenje kolegija

Studij	Studijski program	Semestar	Obavezan
Informacijski i poslovni sustavi 1.2 (IPS)		3	obavezan

Cilj kolegija

Cilj predmeta je razrada koncepata iz linearne algebre, teorije brojeva, polinoma i realnih funkcija više varijabli koji predstavljaju teoretsku podlogu sadržajima iz područja informatike.

Preduvjeti

Matematika 1 (IPS 1.2)
Matematika 2 (IPS 1.2)

Norma kolegija

Predavanja

45 sati

Seminar

30 sati

Nastavnik	Uloga na kolegiju	Oblik nastave	Tjedana	Sati	Grupa
Divjak Blaženka	Nositelj	Predavanja Predavanja	15 0	3 3	1 1
Maretić Marcel	Nositelj	Predavanja	15	3	1
Horvat Damir	Suradnik	Seminar	16	2	2
Bosak Mihaela	Suradnik	Seminar	16	2	4
Žugec Bojan	Suradnik
Tomašić Tin	Demonstrator	Demonstrature	15	2	1

Sadržaj predavanja

Geometrijski vektor. (3 sata)
Povijesni osvrt i motivacija. Orijentirana dužina. Smjer. Definicija geometrijskog vektora. Nulvektor. Suprotni vektor. Zbrajanje i oduzimanje vektora. Množenje vektora skalarom. Svojstva zbrajanja vektora i svojstva množenja vektora skalarom. Jednakost vektora. Nulvektor.
Klasična algebra vektora. (3 sata)
Kut. Definicija skalarnog produkta vektora. Svojstva skalarnog produkta. Jedinični vektor. Kolinearnost vektora. Definicija vektorskog produkta. Svojstva vektorskog produkta. Komplanarnost vektora. Geometrijska interpretacija skalarnog, vektorskog i mješovitog produkta. Definicija baze u prostorima V1, V2, i V3 (1,2 i 3-dimenzionalni prostor geometrijskih vektora). Lijeva i desna baza. Ortonormirana baza. Mješoviti produkt. Koordinatizacija. Račun s koordinatama vektora u odgovarajućoj koordinatizaciji.
Jednadžbe ravnine. (3 sata)
Izvod više oblika jednadžbi ravnine: vektorski, parametarski, kanonski, normalni i segmentni oblik. Položaj dviju ravnina. Kut između ravnina. Poveznica sa sustavima linearnih jednadžbi. Parametrizacija dijela ravnine (paralelogram, trokut).
Jednadžbe pravca. (3 sata)
Izvod više oblika jednadžbi pravca u trodimenzionalnom euklidskom prostoru (kanonska jednadžba, parametarske jednadžbe pravca, vektorski oblik, pravac kao presjek dvije ravnine). Parametrizacija segmenta. Položaj dvaju pravaca. Položaj pravca i ravnine.
Mimosmjerni pravci. (2 sata)
Udaljenost točke od pravca. Udaljenost točke od ravnine. Udaljenost (mimosmjernih) pravaca. Zajednička normala mimosmjernih pravaca. Pramen ravnina. Snop ravnina.
Vektorski prostor. (4 sata)
Uvod i motivacija, primjene. Definicija/aksiomi vektorskog prostora. Primjeri (prostor geometrijskih vektora, koordinatni prostor R^n, matrice, polinomi). Skup izvodnica. Linearni omotač. Linearna zavisnost i linearna nezavisnost skupa vektora.
Baza vektorskog prostora. Potprostor. (3 sata)
Definicija baze. Jedinstvenost prikaza u bazi. Primjeri kanonskih baza. Dimenzija. Steinitzov teorem o dimenziji. Koordinatizacija i koordinatni vektorski prostor. Izomorfnost n-dimenzionalnih realnih vektorskih prostora. Transformacija koordinata (promjena baze). Definicija potprostora. Karakterizacija potprostora. Primjeri.
Linearni operator. (3 sata)
Definicija linearnog operatora. Izomorfizam vektorskih prostora. Jezgra i slika linearnog operatora. Rang i defekt linearnog operatora. Teorem o rangu i defektu. Posebni linearni operatori u euklidskom prostoru: rotacija, projekcije, homotetija, zrcaljenja. O translaciji.
Matrični prikaz linearnog operatora. (3 sata)
Matrični prikaz linearnog operatora. Računanje slike vektora. Matrični zapis kompozicije linearnih operatora. Ovisnost matričnog prikaza linearnog operatora o izboru baza. Retčana ešalonska forma matrice. Određivanje ranga, defekta, slike i jezgre linearnog operatora. Translacija i homogene koordinate.
Problem svojstvenih vrijednosti. (3 sata)
Motivacija. Karakteristični polinom. Hamilton-Cayleyev teorem. Minimalni polinom. Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori. Spektar operatora. Svojstveni potprostor. Postupci rješavanja problema svojstvenih vrijednosti - klasična metoda i metoda potencija. Primjeri. Svojstveni vektori geometrijskih preslikavanja na R^3. Primjene.
Prsten polinoma. (3 sata)
Polinomi i polinomijalne funkcije. Prsten polinoma. Jednakost polinoma. Stupanj polinoma. Teorem o dijeljenju polinoma. Hornerov algoritam i primjene (računanje vrijednosti polinomijalne funkcije i razvoj polinoma po potencijama oko zadane točke). Rješavanje polinomijalnih (algebarskih) jednadžbi.
Primjena polinoma. (3 sata)
Euklidov algoritam. Konačna polja i njihove primjene. Interpolacijski polinom. Aproksimacija polinomijalnom funkcijom. Taylorov teorem. Ocjena greške polinomijalne aproksimacije. Runge fenomen. Splajnovi. Bezierove krivulje. Primjene u računalnoj grafici.
Realne funkcije dviju varijabli. (3 sata)
Funkcija dvije varijable. Vizualizacija grafa funkcije dviju varijabli. Nivo linije i nivo plohe. Topologija ravnine. Prirodna domena realne funkcije dvije varijable. Limes funkcije dvije varijable (Heineova i Cauchyjeva definicija). Parcijalne derivacije. Schwarzov teorem. Gradijent. Diferencijal. Totalni diferencijal. Aproksimacija funkcije pomoću diferencijala. Tangencijalna ravnina.
Optimizacija. Ekstremi funkcija dvije varijable. (3 sata)
Lokalni ekstremi (minimum i maksimum) realne funkcije više varijabli. Definicija stacionarne ili kritične točke. Nužni i dovoljni uvjeti za postojanje lokalnih ekstrema. Sedlasta točka. Postupak traženja lokalnih ekstrema. Ekstremi neprekidne funkcije na kompaktu. Definicija vezanog ili uvjetnog ekstrema realne funkcije više varijabli. Lagrangeova funkcija. Interpretacija problema, Lagrangeove funkcije i rezultata. Traženje uvjetnih ekstrema. Primjeri praktičnih problema koji se rješavaju pomoću uvjetnih ekstrema.
Krivulje i plohe u prostoru (3 sata)
Krivulje u prostoru. Gibanje točke u prostoru. Frenetov trobrid. Bezierove krivulje. Parametrizacija ploha. Tangencijalne krivulje. Tangencijalna ravnina. Primjene u računalnoj grafici.

Sadržaj seminara/vježbi

Ishodi učenja kolegija

Iskazati osnovne definicije, teoreme i objasniti koncepte iz područja vektorskih prostora i linearnih operatora.
Primijeniti koncepte linearne zavisnosti i nezavisnosti vektora na problemske zadatke iz područja primjene.
Analizirati problem iz područja primjene, odabrati prikladnu metodu rješavanja linearne algebre, riješiti problem te ga, ako je moguće, algoritamski implementirati.
Objasniti koncept derivacije funkcije više varijabli i geometrijski interpretirati parcijalnu derivaciju funkcije više varijabli.
Analizirati elementarne funkcije dviju varijabli primjenom diferencijalnog računa.
Odrediti ekstreme ili uvjetne ekstreme funkcije dviju varijabli.
Analizirati i riješiti problemski zadatak iz područja matematičke analize funkcije više varijabli uz upotrebu prikladnog programskog alata ili vlastitog programskog rješenja.
Prezentirati rješenja problemskog zadatka iz područja matematičke analize funkcije više varijabli u pisanom obliku.
Riješiti problemski zadatak iz područja informatike primjenom koncepata i metoda vektorskog računa i analitičke geometrije trodimenzionalnog prostora

Ishodi učenja programa

razumjeti i primijeniti matematičke metode, modele i tehnike primjerene rješavanju problema iz područja informacijskih i poslovnih sustava
pratiti stručnu literaturu na hrvatskom i stranom jeziku, pripremiti i samostalno održati prezentacije na hrvatskom i stranom jeziku stručnoj i općoj publici, te kritičku evaluaciju prezentirane stručne teme
razumjeti i primijeniti vještine učenja potrebne za cjeloživotno učenje i nastavak obrazovanja na diplomskom studiju.

Osnovna literatura

E-knjiga dostupna i izvan LMS-a (Moodle)

Dopunska literatura

Lončar I., Matematičke metode za informatičare I i II, TIVA - Fakultet organizacije i informatike, Varaždin, 2001.
Krešimir Horvatić, Linearna Algebra
Sallas, Hille, Etgen, Calculus one and several variables, Wiley & Son, 1999.
Kurepa S., Konačno dimenzionalni vektorski prostori, Sveučilišna naklada Liber, Zagreb, 1976.
Lang S., Introduction to Linear Algebra, Springer, 1997.
Lang S., Calculus of Several Variables, Springer, 1996.
Howard A. Anton, Chris Rorres, Elementary Linear Algebra, Wiley & Son, 1999.
Kreyszig E., Advanced Engeneering Mathematics, Wiley & Son, 1999.
Simon C.P., Blume L., Mathematics for Economists, Norton & Co., 1994.

Slični kolegiji

Redoviti studenti

Izvanredni studenti

izvanredni rok

Datum: 15.04.2026.

Vrijeme: 16:00

Opis: Na Fakultetu

U kalendaru ispod se nalaze konzultacije predmetnih nastavnika, no za detalje o konzultacijama možete provjeriti na profilu pojedinog predmetnog nastavnika.